八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习.doc

1、有德教育1 / 9第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。 （3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2- 是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数。如 2 ,（5）开方开不尽的数，如: 等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,52如： 等；无理数也不一定带

2、根号，如： ）93.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数） ，而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、 、 、 、0.30300030000037525.3（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,- , , 其中无理数有 ( )个432【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么，这个正数 x

3、就叫做 a 的算术平方根，x2记为：“ ”，读作， “根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根a是 3，即 。9特别规地，0 的算术平方根是 0，即 ，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数 a 是非负数。 （2）算术平方根a本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两a有德教育2 / 9个互为相反数的值，表示为： 。a例：（1）下列说法正确的是 （ ）A1 的立方根是 ； B ；（C ）

4、 、 的平方根是 ； （ D） 、0124813没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、98114.314.33927235（3） 的算术平方根是 。 （4）若 有意义，则2)( x_。x（5）已知ABC 的三边分别是 且 满足 ，求 c 的取值范围。,cba0)(32ba（6） （提高题）如果 x、y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3平方根：1.定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称x2x 是 a 的平方（也叫二次方根） ，记做： )0(2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（

5、2）0 只有一个平方根，它是 0 本身； （3）负数没有平方根例（1）若 的平方根是2，则 x= ； 的平方根是 （2）当 x 时，x 16有意义。3（3）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？3. 的 性 质与 22)0(aa（1） （2） 中，a 可以取任意实数。如7)(）如 ：（ |25|23|-2）（例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2727-）（ 249-）（2.已知 ，那么 a 的取值范围是 。3.已知 2x3,化简 1)a（ |3)x（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a,那么这个数 x 就叫做

6、 a 的立方根（也有德教育3 / 9叫做三次方根）记为 ，读作，3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根，0 的立方根是 0。a2.性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.例： （1）64 的立方根是 （2）若 ，则 b 等于 9.28,.33ab（3）下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是 2，3y364。482其中正确的有 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个比较两个数的大小：方法一：估算法。如 3 4 方法二：作差法。如 ab 则 a-b0.0方法三：乘方法.如比较 的大小。62与例

7、：比较下列两数的大小（1） （2）213-0与 53与【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 （a0） ；实数 a 的绝对值1|a|= ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。)0(a实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。 （在数轴上，右边的数总是大于左边的数） 。对于一些带

8、根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。有德教育4 / 9例：（1）下列说法正确的是（ ） ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1 和 2 之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。2（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A、 B、 C、 D、baabbaab（3）比较大小(填

9、“”或“0，则 ab=1；（ ）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234， ,0， , , , , ( )0，3 2 ，ctg45,227 9 3 18 2 8 2 31.2121121112 中无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 10，且 y|x|，用“连结 x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？有德教育8 / 911绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a 是负数 ；（2）a、b 两数异号 ；（3）a、b 互为相反数 ；（4）a、b 互为倒数

10、 ；(5)x 与 y 的平方和是非负数 ；（6）c、d 两数中至少有一个为零 ；（7）a、b 两数均不为 0 。*13.数轴上作出表示 ， ， 的点。2 3 5四独立训练：10 的相反数是 ，3 的相反数是 ， 的相反数是 ； 的绝对值是 3 8，0 的绝对值是 ， 的倒数是 2 32数轴上表示32 的点它离开原点的距离是 。A 表示的数是 ，且 AB ，则点 B 表示的数是 。12 133 ,(1 ), ,01313,2cos60 , 3 1 ,1101001000 33 2227(两 1 之间依次多一个 0),其中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4. 若 a 的相反数是 27，则a| ；5

11、若|a| ，则 a= 25若实数 x，y 满足等式（x3） 24y0，则 xy 的值是 6实数可分为（ ） A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于 a= 8当 a 为实数时， =a 在数轴上对应的点在（ ）a2A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧*9代数式 的所有可能的值有 个。 10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小 （2）化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中有德教育9 / 9试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2） 29 20 。求它的周长。13若 3，5 为三角形三边，化简： （ 2 ） 2 （ 8） 2