高中数学平面向量知识点总结及常见题型.docx

1、1平面向量一.向量的基本概念与基本运算1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量一般用 来表示，或用有向线段的起点与终cba,点的大写字母表示，如： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j几何表示法 ， ；坐标表示法 奎 屯王 新 敞新 疆 ABAB ),(yxjia向量的大小即向量的模（长度） ，记作| | 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即向量的大小，记作 奎 屯王 新 敞新 疆 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是

2、任意的， 与任意向量平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j零向量 00a0 0 奎 屯王 新 敞新 疆 由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）a的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 （注意与 0 的区别）单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量 为单位向量 1 奎 屯王 新 敞新 疆00a平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j任意一组平行向量都可以移到同一直线上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方向相同或相反的向量，

3、称为平行向量 奎 屯王 新 敞新 疆 记作 奎 屯王 新 敞新 疆 由于向量可以进行任意的平移ab(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 奎 屯王 新 敞新 疆相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相等向量经过平移后总可以重合，记为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j大ba小相等，方向相同 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j),(),(21yx2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设

4、，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；0向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当两个向量的起点公共时

5、，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法2则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连” ABCDPQRA3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的减法 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量a a记作 ,零向量的相反向量仍是零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j关于相反向量有： （i） = ； (ii) +( )=( )+ = ；)(a0(iii)若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabbab向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作

6、： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求两个向量差的运算，叫做向量的减法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbabaab4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：（） ；a（）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向0a0a相反；当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数乘向量满足交换律、结合律与分配律 头h

7、tp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaba6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只21,e 有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有21ea21,e向量的一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 特别注意:（1）向量的加法与

8、减法是互逆运算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线（重合）的情况 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置3有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二.平面向量的坐标表示1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同

9、的两个单位向量 作为基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由平面向,ij量的基本定理知，该平面内的任一向量 可表示成 ，由于 与数对(x,y)是一axiyja一对应的，因此把(x,y)叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)，其中 x 叫作 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:

10、/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1)若 ，则12,abxy 12,abxy(2)若 ，则ByxA2A(3)若 =(x,y)，则 =( x, y)(4)若 ，则12,abxy121/0abxy(5)若 ，则xy若 ，则02121y3 奎 屯王 新 敞新 疆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向量的加法1 奎 屯王 新 敞新 疆 平行四边形法则2 奎 屯王 新 敞新 疆 三角形法则 12(,)abxyab)(cABC向量的减法三角形法则 12(,)abxy)(ba4OBA向量的乘法是一

11、个向量,a满足:0 时, 与 同向;0 时, 与 异向;=0 时, = 奎 屯王 新 敞新 疆a0),(yxaa)(b)(ab向量的数量积是一个数b或 时,=0a且 时,0bacos| 12bxy)()(baccba)(,2|2|yx|三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 叫做 与ababba的数量积（或内积） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos

12、 = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j投影的绝对值b|baba称为射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|a5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j乘法公式成立： 5；22abab22ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j

13、平面向量数量积的运算律：交换律成立： ab对实数的结合律成立： abR分配律成立： cc特别注意：（1）结合律不成立： ；c（2）消去律不成立 不能得到abcb（3） =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j07 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)axybab128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （OABb）叫做向量 与 的夹角 头htp:/w.x

14、jkygcom126t:/.j00cos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jcos,ab212当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =180 0，同时ab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j09 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆 平面向量数量积的性质ab0

15、21yx题型 1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 .ABCD6（5）若 ，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形.（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若 与 共线， 与 共线，则 与 共线.abcac（8）若 ，则 .mab（9）若 ，则 .n（10）若 与 不共线，则 与 都不是零向量.（11）若 ，则 .|ab/ab（12）若 ，则 .|题型 2.向量的加减运算1.设 表示“向东走 8km”, 表示“向北走 6km

16、”,则 .ab|ab2.化简 .()()ABMOBC3.已知 , ,则 的最大值和最小值分别为 、 .|5|3|A4.已知 的和向量，且 ，则 ， .CD为 与 ,aBDbAD5.已知点 C 在线段 AB 上，且 ,则 ， .5CCB题型 3.向量的数乘运算1.计算：（1） （2）3()2()ab(53)(23)abcabc2.已知 ，则 .,4,813ab题型 4.作图法球向量的和已知向量 ，如下图，请做出向量 和 .,ab23b题型 5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在 中， 是 的中点，请用向量 表示 .ABCDABC， D2.在平行四边形 中，已知 ，求 .,CaDb和7题型 6

17、.向量的坐标运算1.已知 ， ，则点 的坐标是 .(4,5)AB(2,3)B2.已知 ， ，则点 的坐标是 .PQ7PQ3.若物体受三个力 , , ,则合力的坐标为 .1()F2()3(14)F4.已知 ， ，求 ， ， .(3,4)a5bab2ab5.已知 ,向量 与 相等，求 的值.(1,2)AB(2,3)xyAB,xy6.已知 ， ， ，则 .3,)Cmn(1,4D7.已知 是坐标原点， ，且 ，求 的坐标.O(1,8B0CO题型 7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12,eA. B. C. D.和 12136ee和 4121

18、3e和 21e和2.已知 ，能与 构成基底的是（ ）(,4)aaA. B. C. D.3,55(,)54(,)3题型 8.结合三角函数求向量坐标1.已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求 的坐标.OA|2OA150xOA2.已知 是原点，点 在第一象限， ， ，求 的坐标.|436题型 9.求数量积1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ， （2） ，|3,|4abab60ab()ab（3） ， （4） .1()2(2)(3)82.已知 ，求（1） ， （2） ， （3） ，(2,6)(8,0)ab|,|aba(2)ab（4） .3题型 10.求向量的夹角1.已知 ， ，求 与 的夹角

19、.|8,|3ab12aab2.已知 ，求 与 的夹角.(1)(,)3.已知 ， ， ，求 .,0A,B5CcosBAC题型 11.求向量的模1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ， （2） .|3,|4abab60|ab|3|ab2.已知 ，求（1） ， （5） ， （6） .(2,6)(8,0)|,|ab|1|23.已知 ， ，求 .|1|ab，|32|ab|3|题型 12.求单位向量 【与 平行的单位向量： 】a|ae1.与 平行的单位向量是 .(12,5)a2.与 平行的单位向量是 .m题型 13.向量的平行与垂直1.已知 ， ，当 为何值时， （1） ？（2） ？(6,2)a(3,

20、)bm /abab2.已知 ， ， （1） 为何值时，向量 与 垂直？(1,)(,)kk3（2） 为何值时，向量 与 平行？kkab393.已知 是非零向量， ，且 ，求证： .aabc()abc题型 14.三点共线问题1.已知 ， ， ，求证： 三点共线.(0,2)A(,)B(3,4)C,ABC2.设 ，求证： 三点共线.2(5),28,3()ABabBCabDabABD、 、3.已知 ，则一定共线的三点是 .2,56,72ababab4.已知 ， ，若点 在直线 上，求 的值.(1,3)A(81)B(1)CABa5.已知四个点的坐标 ， ， ， ，是否存在常数 ，使(0,)O(3,4)A(

21、,2)B(,1)Ct成立？OAtBC题型 15.判断多边形的形状1.若 ， ，且 ,则四边形的形状是 .3e5De|ABC2.已知 ， ， ， ，证明四边形 是梯形.(1,0)A(4,)B(2,)(0)ABCD3.已知 ， ， ，求证： 是直角三角形.(2,)(6,3)(,5)C4.在平面直角坐标系内， ,求证： 是等腰直(1,8)(4,1)(3)OABOCABC角三角形.题型 16.平面向量的综合应用101.已知 ， ，当 为何值时，向量 与 平行？(1,0)a(2,1)bkkab32.已知 ，且 ， ，求 的坐标.35a|2b3.已知 同向， ，则 ，求 的坐标.与 (,)103.已知 ，

22、 ， ，则 .(1,2)a1b(5,4)ccab4.已知 ， ， ，请将用向量 表示向量 .50(3,c5.已知 ， ， （1）若 与 的夹角为钝角，求 的范围；(,3)am(2,)babm（2）若 与 的夹角为锐角，求 的范围.m6.已知 ， ，当 为何值时， （1） 与 的夹角为钝角？（2） 与(6,)(,) aba的夹角为锐角？b7.已知梯形 的顶点坐标分别为 ， ， ，且 ，ABCD(1,2)A(3,4)B(2,1)D/ABC，求点 的坐标.28.已知平行四边形 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，求第四(2,1)(,3)(,4)个顶点 的坐标.D9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 角，30求水流速度与船的实际速度.10.已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，ABC(3,4)A(0,)B(,)Cc（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值.0c5csinA【备用】1.已知 ，求 和向量 的夹角.|3,|4,|5aba|ab,