1、12017 届广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共 4 页,23 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题:本小题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)复数 2i1i的共轭复数是(
2、A) (B) i (C) 1i (D) 1i(2)若集合 Mx, 2,Nyx,则(A) (B) (C) NM (D ) N(3)已知等比数列 na的各项都为正数, 且 35412a,成等差数列, 则 3546的值是(A) 12 (B) 512 (C) 35 (D ) 3 (4)阅读如图的程序框图. 若输入 5n, 则输出 k的值为(A) 2 (B) 3 (C ) 4 (D) 5 (5)已知双曲线 C2:14xya的一条渐近线方程为 230xy, 1F, 2分别是双曲线 的左,右焦点 , 点 P在双曲线 上, 且 17P, 则 2等于(A) 1 (B) 3 (C) 4或 (D) 或 32(6)如
3、图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为 83, 则该几何体的俯视图可以是(7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为(A) 12 (B) 1532 (C) 132 (D ) 516(8)已知 1F, 2分别是椭圆 C2:0xyab的左, 右焦点, 椭圆 C上存在点 P 使 12P为钝角, 则椭圆 的离心率的取值范围是(A) , (B ) 1,2 (C) 20, (D
4、) 10,2(9)已知 :0,xpea成立, :q函数 1xfxa在 R 上是减函数, 则 p是q的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(10) 九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑, PA平面AB, 2P, 4AC, 三棱锥 的四个顶点都在球 O的球面上, 则球 O的表面积为 (A) 8 (B ) 1 (C) 20 (D) 24(11)若直线 1y与函数 sinfx的图象相交于点 1,Pxy, ,Qxy,且12x3,则线段 PQ与函数 fx的图象所
5、围成的图形面积是(A) (B) 3 (C) 23 (D)33PCB A(12)已知函数 32148fxx, 则20617kf的值为(A) 0 (B ) 5 (C) 8 (D ) 2016第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题,每个考生都必须作答。第2223 题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本小题共 4 题,每小题 5 分。(13)已知 1,2ab,且 a()b,则向量 a与向量 b的夹角是 . (14) 3nx的展开式中各项系数和为 64,则 3x的系数为 .(用数字填写答案)(15)已知函数12,0,logxf若 2f, 则实数 a的取值范围是 .(16)设 n
6、S为数列 na的前 项和, 已知 1a, 对任意 pqN *, 都有 pqqa,则 60(1fN *)的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分 12 分)如图, 在 ABC中, 点 P在 边上, 60,2,4AC.() 求 ;() 若 的面积是 32, 求 sinP.(18) (本小题满分 12 分)近年来,我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达 516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满
7、意率为0.6,对服务的满意率为 0.75,其中对商品和服务都满意的交易为 80 次.() 根据已知条件完成下面的 2列联表,并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?() 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的 3 次购物中,设对商品和服务都满对服务满意 对服务不满意 合计对商品满意 80对商品不满意合计 2004EDCBA EDCBA意的次数为随机变量 X,求 的分布列和数学期望 EX.附: 2K2nadbcd(其中 nabcd为样本容量)(19) (本小题满分 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD中, / , AB C, D , 点 E是 BC边的中
8、点, 将 沿 折起,使平面 平面 ,连接 A, , , 得到如图 2 所示的几何体.() 求证: 平面 ;() 若 1A,二面角 CB的平面角的正切值为 6,求二面角BE的余弦值.图 1 图 2(20) (本小题满分 12 分)过点 ,2Pa作抛物线 2:4xy的两条切线, 切点分别为 1,Axy, 2B.() 证明: 12xy为定值;() 记 AB的外接圆的圆心为点 M, 点 F是抛物线 C的焦点, 对任意实数 a, 试判断以 为直径的圆是否恒过点 ? 并说明理由.(21) (本小题满分 12 分)已知函数 ln0afx.() 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;() 证明:当 a2e,
9、1b时, 1lnfb.请考生在第 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22) (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程2Pk0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.6355PCB A在直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 3,(1xty为参数 ). 在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 :2cos.4C() 求直线 l的普通方程和曲线 的直角坐标方程;() 求曲线 C上的点到直线 l的距离的最大值.(23) (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 1
10、2fxax. () 若 13,求实数 的取值范围;() 若 ,R , 求证: f.数学(理科)参考答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题(1)B (2)C (3)A (4)B (5)D (6)D(7)C (
11、8)A (9)B (10)C (11 )A (12)B二、填空题(13) 4 (14) 50 (15) 1,8,2 (16) 29三、解答题(17) 解:() 在 APC中, 因为 60,4APCA,由余弦定理得 22cosPC, 1 分所以 24460 ,整理得 0AP, 2 分解得 . 3 分所以 2C. 4 分6DPCB A所以 APC是等边三角形 . 5 分所以 60. 6 分() 法 1: 由于 B是 的外角, 所以 120APB. 7 分因为 AP的面积是 32, 所以 13sin.8 分所以 . 9 分在 B中, 22cosPBAPB 312019, 所以 A. 10 分在 PB
12、中, 由正弦定理得 sinsiABP, 11 分所以 sin3i12095738.12 分法 2: 作 ADC, 垂足为 ,因为 P是边长为 的等边三角形, 所以 1, 0AD. 7 分因为 AB的面积是 32, 所以 132P. 8 分所以 P. 9 分所以 4D.在 Rt 中, 219AD, 10 分所以 4sin19BA, 3cosB. 所以 isi30Pncossin30DAD 11 分412193578. 12 分7(18)解:() 2列联表:对服务满意 对服务不满意 合计对商品满意 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 2002 分220814071.
13、,5K3 分因为 .6.3, 所以能有 99%的把握认为 “网购者对商品满意与对服务满意之间有关系 ”. 4 分() 每次购物时,对商品和服务都满意的概率为25,且 X的取值可以是 0,1,2,36 分3 2132740; ;51515PXPXC236= C; 308=2. 10 分X的分布列为:11 分所以 275436801215EX. 12 分或者:由于 ,则 EX. 12 分,3B(19) 解:() 因为平面 AD平面 C,平面 ABD平面 CB,又 ,所以 平面 . 1分因为 B平面 ,所以 . 2分0 1 2 3P75468158z yx EDCBA又因为折叠前后均有 AD B,
14、CAD, 3分所以 B平面 . 4分() 由()知 平面 ,所以二面角 B的平面角为 CAD. 5分又 C平面 A, 平面 A,所以 C A.依题意 6tanD. 6 分因为 1,所以 . 设 0Bx,则 12xB.依题意 A C,所以 AB,即 162x. 7 分解得 2x,故 2,3, 3DCD. 8 分法 1:如图所示,建立空间直角坐标系 xyz,则 )0,(,)0,3(B, ),6(,2E, 6,03A, 所以 ,D, ,3D.由()知平面 B的法向量 )0,1(n.9分设平面 AE的法向量 ,zyxm由 0,D得3602.xz令 6x,得 3,y,所以 ),(m. 10 分所以 21
15、|,cosmn. 11 分由图可知二面角 BADE的平面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 . 12分法 2 :因为 C平面 ,过点 E作 F/ 交 B于 F,则 平面 AD. 9GFEDCBA因为 AD平面 B,所以 EF . 9分 过点 作 G 于 ,连接 GE,所以 平面 ,因此 AD . 所以二面角 B的平面角为 F. 10 分由平面几何知识求得 261CDEF, 21BF, 所以 G. 所以 cos = 21E. 11 分所以二面角 BAD的余弦值为 . 12分(20)解:() 法 1:由 24xy,得 21x,所以 1yx. 所以直线 PA的斜率为 12x.因为点 1,A和 2,B在
16、抛物线 C上, 所以 14y, .所以直线 P的方程为 14yxx. 1 分因为点 ,a在直线 A上,所以 2114xx,即 2180ax. 2 分同理, 280. 3 分所以 1是方程 2a的两个根.所以 2x. 4 分又 22111446yx, 5 分所以 2x为定值. 6 分法 2:设过点 ,Pa且与抛物线 C相切的切线方程为 2ykxa, 1 分由 2,4,ykx消去 y得 2480xka,由 1680a, 化简得 2. 2 分所以 2k. 3 分10由 24xy,得 21x,所以 1yx.所以直线 PA的斜率为 1k,直线 PB的斜率为 21kx. 所以 124x, 即 28x. 4
17、 分又 146y, 5 分所以 124x为定值. 6 分() 法 1:直线 PA的垂直平分线方程为 1122yxa, 7 分由于 214yx, 118ax,所以直线 的垂直平分线方程为 1142xxay. 8 分同理直线 PB的垂直平分线方程为 2ax. 9 分由解得32xa, 21y,所以点 ,M. 10 分抛物线 C的焦点为 0,1F 则 23,3.aMPF由于23aP,11 分所以 .M所以以 为直径的圆恒过点 .F 12 分另法: 以 P为直径的圆的方程为 2310.2axay11 分把点 0,1F代入上方程,知点 的坐标是方程的解.所以以 M为直径的圆恒过点 F 12 分法 2:设点 的坐标为 ,mn,则 PAB的外接圆方程为 2222xynman,由于点 12,xy在该圆上,
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