1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷共 23 题,共 150 分,共 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题
2、共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1 i3A B C D2i21i2i22 设集合 , ,若 ,则4 1, 04mx1BAA B. C D3 , , 3 , 5 1,3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯A1 盏 B3 盏C 5 盏 D 9 盏 4如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,
3、则该几何体的体积为A 90B 63C 42D5设 满足约束条件 则 的最小值是yx、 , ,032yxyxz2A B C D19196安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有A12 种 B18 种 C 24 种 D 36 种 理科数学试题 第 1 页(共 4 页)7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以
4、知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出的1aSA2 B3 C4 D59若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦)0(1:2babyxC, 4)2(yx长为 ,则 的离心率为2A B C D3 310已知直三棱柱 中, , , , 则异面直1CA120AB1C线 与 所成角的余弦值为1BA B C D2355311若 是函数 的极值点,则 的极小值为x 12)()xeaxf )(xfA B C D133e112已知 是边长为 的等边三角形, 为平面 内一点,则 的CPAB)(PCBA最小值是A B C D 2234二、填空题:本题共 4 小题,每小题
5、5 分,共 20 分。13一批产品的二等品率为 ,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取0. 10次, 表示抽到二等品件数,则 .XDX14函数 的最大值是 .)2 (43cossin)(2 ,xxf15等差数列 的前 项和为 , , ,则 .anS3a104SnkS116已知 是抛物线 的焦点, 是 上一点, 的延长线交 轴于点 .FxyC8:2MCFyN若 为 的中点,则 .MNF理科数学试题 第 2 页(共 4 页)开 始输 出 S否是K=K+1a=-aS=0,K=1S=S+aKK 6输 入 a开 始三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必
6、考题,每个试题考生都必须作答。第 22/23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17.(12 分)的内角 的对边分别为 ,已知 .ABCC, cba, 2sin8)sin(BCA(1)求 ;cos(2)若 , 的面积为 ,求 .6aAB218.(12 分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于A50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断
7、是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01).附:.)()(22 dbcabnK理科数学试题 第 3 页(共 4 页)箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法新养殖法箱 产 量 /kg频 率 /组 距0.0680.0460.0440.0200.01000.0080.0047065605550454035旧 养 殖 法0.0340.0320.0240.0140.0122530 箱 产 量 /kg频 率 /组 距0.0400.0200 7065605550454035新 养 殖 法M EDCB AP19.(12
8、分) 如图,四棱锥 中,侧面 为等边三ABCDPPA角形且垂直于地面 , ,D21, 是 的中点.90BADE(1)证明:直线 ;平 面(2)点 在棱 上,且直线 与底面MPBM所成角为 ,求二面角 的余C45A弦值.20.(12 分)设 为坐标原点,动点 在椭圆 上,过 作 轴的垂线,垂足为 ,O12:yxCMxN点 满足 .PNM2(1)求点 的轨迹方程;(2)设点 在直线 上,且 . 证明:过点 且垂直于 的直线 过Q3xPQOPOQl的左焦点 .CF21.(12 分)已知函数 ,且 .xaxfln)(20)(f(1)求 ;a(2)证明: 存在唯一的极大值点 ,且 .202)(xfe(二
9、)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。22.选修 :坐标系与参数方程(10 分)4在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线xOyx的极坐标方程为 .1C4cos(1) 为曲线 上的动点,点 在线段 上,且满足 ,求点 M1POM16OP的轨迹 的直角坐标方程;2(2)设点 的极坐标为 ,点 在曲线 上,求 面积的最大值. A)3 2(, B2CAB23.选修 :不等式选讲(10 分)54已知 .证明:203baa,(1) ;4)(5b(2) .2理科数学试题 第 4 页(共 4 页)2017 年普通高等学校招
10、生全国统一考试理 科 数 学 参 考 答 案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 16. 612n三、解答题17.(1)由 得 ,即 ,BCA2sin8iB2sin4coB,得 ,则有 .42tan15tan175(2)由(1)可知 ,则 ,得 ,78siB2sinBacSABC17ac又 ,则 .417302)(co22 caab b18.(1)旧养殖法箱产量低于 50kg 的频率为,62.05)4.03.24.01.2.( 新养殖法箱产量不低于 50kg 的频率为,.)8.
11、6.8.(而两种箱产量相互独立,则 .40926.20(AP(2)由频率分布直方图可得列联表箱产量50kg 箱产量50kg旧养殖法 62 38新养殖法 34 66则 ,635.70.149610)382(22 K所以有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)新养殖法箱产量低于 50kg 的面积为 ,5.034.)0.2.4.( 产量低于 55kg 的面积为 ,685)02.0.( 所以新养殖法箱产量的中位数估计值为 (kg).34.19.(1)取 中点 ,连结 .因为 为 中点,则 .而由题可知PAFBFE、 PDADEF21,则 ,即四边形 为平行四边形,所以 .又DBC2 C EBC
12、,故 .PAE面,面 A面(2)因为 ,则以 为坐标原点,所在直线分别为 轴建立空间直角A、 yx、坐标系 ,如图所示.xyz取 ,设 则得1B)10(CPM, ,则)0()(, 3, ,可得点3,CP,所以 .,)(,B取底面 的法向量为 ,则 ,解得AD10,n 45sin31cos22nBM,,则 .因为 ,设面 的法向量为2)26(,M)0(,AA,由 得 ,取 得 ,)(zyxm, 0Bm26zyx2z)260(, m则 .故二面角 的余弦值为 .51 cosn, DABM5120.(1)设 ,则 ,将点 代入 中得 ,所以点 的轨迹)(yxP, )2(yx, C12yxP方程为 .
13、2zyxFM EDCBAP(2)由题可知 ,设 ,则 ,)01(,F)()3(nmPtQ, )1( )3(nmPFtOQ,.由 得 ,由)( )(tPnmO, 1 22tn(1)有 ,则有 ,所以 ,即过点 2203n03 且垂直于 的直线 过 的左焦点 .lCF21.(1) 的定义域为 ,则 等价于 .)(xf )0(, )(xf lnxa设 ,则 .由题可知 ,则由 解得 ,xaglnag1 00)(gax1所以 为 上的增函数,为 上的减函数.则有)()1, )0(, min,解得 .0l1(2)由(1)可知 ,则 . xxfln(2xfl2设 ,则 .由 解得 ,所以 为 xhln2)
14、(h1) 0)(h1)(h)21,上的增函数,为 上的减函数.又因为 ,则 在)10(, 0ln, x上存在唯一零点 使得 ,即 ,且 为 ,)210(, xl200x0l2x)(f)0,上的增函数,为 上的减函数,则 极大值为 ., )1 (, )(f 410xf而 ,所以 .01)(exe, 210(efxf综上, . 22f22.(1)设 极坐标为 , 极坐标为 .则 ,P)0(, M)0(1, OP.由 得 的极坐标方程为 .所以 cos41OM16OP2C)(cos42C的直角坐标方程为 .)(4)2(xyx(2)设 极标为 ,由题可知 ,则有B0, s2,A.3)32sin()3sin(12 OAS即当 时, 面积的最大值为 .B23.(1) 6565)( baba)(2)(433a4(2)因为 3223)( baba)(422,)(33ba所以 ,解得 .8)(3ba2
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