1、数列专项-3类型 构造数列法:形如 (其中 均为常数且 )型的递推式: qpann1,p0p(1)若 时,数列 为等差数列; n(2)若 时,数列 为等比数列;0(3)若 且 时,数列 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等pqna比数列来求.方法有如下两种:法一: 设 ,展开移项整理得 ,与题设1()nna1(1)nnap比较系数(待定系数法)得1npq,即1,(0)()1nnqqapa1()nnqqapa构成以 为首项,以 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公1nqap1式求出 的通项整理可得n.na法二: 由 得 两式相减并整理得 即qpann11(2)npq1,nap构成以
2、为首项,以 为公比的等比数列.求出 的通项再转化1na21 为类型(累加法)便可求出 .n例 10.在数列 中, ,且 ,求数列 的通项公式。n31nana例 11.在数列 中, ,且 ,求数列 的通项公式。1a2形如 型的递推式:1()nnapf当 为一次函数类型(即等差数列)时:()f法一: 设 ,通过待定系数法确定 的值,转1()nnABaABAB、化成以 为首项,以 为公比的等比数列 ,再利用等比数列的通项1apna公式求出 的通项整理可得n .n法二: 当 的公差为 时,由递推式得: ,()fnd1()nnapf两式相减得: ,令 得:1nap1(nd1nnba转化为类型求出 ,再用
3、类型(累加法)便可求出bdb.例 12.在数列 中, ,且 ,求数列 的通项公式。n21a2431ann当 为指数函数类型(即等比数列)时:()f法一: 设 ,通过待定系数法确定 的值,转化成以1()()nnafpaf为首项,以 为公比的等比数列 ,再利用等比数列的通项公式求1()f ()naf出 的通项整理可得n .n法二: 当 的公比为 时,由递推式得: ,()fq1()nnpf,两边同时乘以 得 ,由两式相1napaq减得 ,即 ,在转化为类型便可求出11()nnqa1np .na法三: 递推公式为 (其中 p,q 均为常数)或 (其中nnp1 1nnaprqp,q, r 均为常数)时,
4、要先在原递推公式两边同时除以 ,得: ,1nann11引入辅助数列 (其中 ) ,得: 再应用类型的方法解决。nbnqaqbpnn1例 13.在数列 中, ,且 ,求数列 的通项公式。a2123a当 为任意数列时,可用通法:()fn在 两边同时除以 可得到 ,令 ,则1()nnapf1np11()nnafpnabp,在转化为类型(累加法) ,求出 之后得 .11nnfb nbn例 14.在数列 中, ,且 ,求数列 的通项公式。a2ann31 na类型 对数变换法:形如 型的递推式:1(0,)qnnapa在原递推式 两边取对数得 ,令 得:1q 1lglgnnaqplgnba,化归为 型,求出
5、 之后得 (注意:底数不一1lgnbq pn1b10.定要取 10,可根据题意选择) 。例 15. 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式。an513nna71na例 16. 已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式。52n1类型 倒数变换法:形如 ( 为常数且 )的递推式:两边同除于 ,转化为11nnapa0p1na形式,化归为 型求出 的表达式,再求 ;1nqann11nan还有形如 的递推式,也可采用取倒数方法转化成 形式,化归nnmapq 1nnmqap为 型求出 的表达式,再求 .a1nn例 17. 已知数列 满足 , ,求数列 的通项a31)2(11aann n公式。例 18.
6、已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式。n11nan类型 形如 型的递推式:nnqpa12法一:用待定系数法,化为特殊数列 的形式求解。方法为:设1na,比较系数得 ,可解得 ,于是)(112nnkhka qhkp,hk、是公比为 的等比数列,这样就化归为 型。 nn1法二:可用特征方程的方法求解:我们称方程:x 2-Ax-B=0 为数列的特征方程 (i)当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q 时,有: ,其中nnnqcpa21c1 与 c2 由已知的 a1、a 2 确定。 (ii)当方程有唯一的实根 p 时,有 其中 c1 与 c2 由已知的 a1、a2nnpca)(21确定。 例 19.
7、 已知 ,求 的通项公式。nna1221,3a例 20.已知 ,求 的通项公式。na类型 IX 不动点法为了求出递推数列 的通项,我们先给出如下两个定义:dtcbtnn1定义 1:若数列 满足 ,则称 为数列 的特征函数.nt)(1f)(xfnt定义 2:方程 =x 称为函数 的不动点方程,其根称为函数 的不动点.)(xfx )(xf下面分两种情况给出递推数列 通项的求解通法.dtcbatnn1(1)当 c=0,时,由 ,dtcbatnn1 btatnn1记 , ,则有 (k0),kdctktnn1数列 的特征函数为 =kx+c,nt)(xf由 kx+c=x x= ,则kc1ctktnn1 )
8、1(1kctkctnn数列 是公比为 k 的等比数列,tn .11)(nckc11)(nkctkt(2)当 c0 时,数列 的特征函数为: =nt )(xfdcba由 xdcba 0)(2dc设方程 的两根为 x1,x2,则有:)(2ba,011xcx 0)(2badcx (1)12)(1xadcxb(2)22又设 (其中,nN *,k 为待定常数).2121xtkxtnn由 2121xtkxtnn2121xtkxdtcbatnnn(3)2121tkdxtcbat nnn 将(1)、 (2)式代入(3)式得: 212211 xtkaxtcxt nnn 212211)(ttann21cxak数列
9、 是公比为 (易证 )的等比数列.21xtn21cxa021 =21tn2121nt.1221122121nnncxattxt例 21. 已知数列a n中,a 1=3, ,求a n的通项。1241na例 22. 已知数列a n中,a 1=2, ,求a n的通项。31n总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 .na答案详解例 10. )(13Nnan例 11. 92n例 12. )(3Nnann例 13. 2-41例 14. )(43Nnann例 15. 7151nn例 16. )(23415651 Nan
10、n例 17. )(Nn例 18. 231an例 19. )(Nn例 20. 1na例 21. )(321Nnn例 22. )(an数列专项 3-巩固习题一、选择填空1.(2010 全国卷 2)(6)如果等差数列 na中, 3+ 4+ 5a=12,那么1a+ 2+ 7a=(A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.(2010 安徽)(5)设数列 na的前 n 项和 2nS,则 8a的值为(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)643. (2011 年高考四川)数列 n的首项为 3, nb 为等差数列且1(*)nnbaN.若则 32b, 10,则 8a( ) A)0 (B)3
11、(C)8 (D)114.(2011 年高考全国卷设 nS为等差数列 n的前 项和,若 1,公差 2d,则 k A)8 (B)7 (C)6 (D)5242kkS5.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知等比数列 na满足 0,2,n ,且5(3)na,则当 1n时, 21231logllogna A. 1 B. () C. D. 2(1)6.(2009 陕西卷)设等差数列 na的前 n 项和为 ns,若 632s,则 n 7. (2011 广东卷)等差数 列 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 140ka,则 k 8. 1,31aan 则其通项为9(2009 宁夏海南卷理)等差数列 na前 n
12、 项和为 nS。已知 1ma+ - 2m=0,21mS=38,则 m=_10.重庆卷理)设 12a, 1na, 21nba, *N,则数列 nb的通项公式 nb= 二 、解答题二、解答题11等差数列 na是递增数列,前 n 项和为 nS,且 931,a成等比数列,25S求数列 的通项公式.12 已知数列 na的前 项和 nS满足 1,)(2nan求数列n的通项公式。13 已知数列 n满足 113nna, ,求数列 na的通项公式。14 已知数列 na满足 112()5nna, ,求数列 n的通项公式。15 已知数列 n满足 1136nna, ,求数列 na的通项公式。16 知数列 na满足 1
13、 1228()89n, ,求数列 n的通项公式。17 已知数列 na满足 1 1(42)6nnnaa, ,求数列 na的通项公式。18 已知数列 na满足 117223na, ,求数列 na的通项公式。答案详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。 34512a, 4a127174()28aa2.【答案】 A【解析】 87695S.【方法技巧】直接根据 1(2)nnaS即可得出结论.3.答案:B解析:由已知知 128,8,nnb由叠加法2137 81()()()64204603aaaa.4【答案】D【解析】 2211()()kkSkdakd1()ad()425故选 D。5【解析】由
14、253n得 na2, 0,则 n2, 3212logl12 )1(logn ,选 C. 6 解析:由 6as可得 的公差 d=2,首项 =2,故易得 na2n.答案:2n7【答案】10【解析】由题得 106031)(2489kddk8 解:取倒数: 11nnnaan1是等差数列, 3)(1n 3)(21na9 解析由 1ma+ - 2m=0 得到 122210, 13810mmaSa又。答案 1010 解析 由条件得 11221nnnnaabb且 14所以数列 nb是首项为 4,公比为 2 的等比数列,则 142nb11 解:设数列 na公差为 )0(d 931,成等比数列, 9123a,即 8()(12d 0, 25aS 211)4(25d由得: 31, d nn5)(5点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。12 解:由 1211aSa当 n时,有 ,)1(2)(21nnnnaS1(),21nn, .1221()nna
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