高中数学直线和圆知识点总结.doc

1、1直线和圆一直线1斜率与倾斜角： ，tank0,)（1） 时， ；（2） 时， 不存在；（ 3） 时，0,)k(,)20k（4）当倾斜角从 增加到 时，斜率从 增加到 ；9 当倾斜角从 增加到 时，斜率从 增加到18002直线方程（1）点斜式： )(00xky（2）斜截式： b（3）两点式： 1212xy（4）截距式： xab（5）一般式： 0CByA3距离公式（1）点 ， 之间的距离：1(,)Px2(,)x 221211()()Pxy（2）点 到直线 的距离：0,y0AByC02|ABCd（3）平行线间的距离： 与 的距离：1x2xy12|dAB4位置关系（1）截距式： 形式ykxb重合：

2、相交：1212 12k平行： 垂直：k（2）一般式： 形式0AxByC重合： 且 且1212121BC平行： 且 且1垂直： 相交：120AB121AB5直线系表示过两直线 和 交点的所11220xyCxyC （ ） 11:0lxByC22:0lAxByC有直线方程（不含 ）l二圆1圆的方程（1）标准形式： （ ）22()()xaybR0（2）一般式： （ ）DEF24EF（3）参数方程： （ 是参数）0cosinxry【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以 , 为直径的圆的方程是：1()Ax2()B()()0ABABxy2位置关系（1）点 和圆 的位

3、置关系：0(,)Py22()()xaybR当 时，点 在圆 内部22xabR0,Px22()()xaybR当 时，点 在圆 上00()()y()y当 时，点 在圆 外22x0,x22()()xy（2）直线 和圆 的位置关系：AByC2()aybR判断圆心 到直线 的距离 与半径 的大小关系(,)Oab0xy2|AaBCdR当 时，直线和圆相交（有两个交点） ；dR当 时，直线和圆相切（有且仅有一个交点） ；当 时，直线和圆相离（无交点） ；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用 判断(3)点与圆

4、的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交13圆和圆的位置关系判断圆心距 与两圆半径之和 ，半径之差 （ ）的大小关系12dO12R12R12当 时，两圆相离，有 4 条公切线；1R当 时，两圆外切，有 3 条公切线；2当 时，两圆相交，有 2 条公切线；112d当 时，两圆内切，有 1 条公切线；2R当 时，两圆内含，没有公切线；104当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5弦长公式： 2lRd例 1 若圆 x2 y21 与直线 y kx2 没有公共点，则实数 k 的取值范围是_解析：由题意知 1，解得 k .21 k2 3 3答案：( ， )3 3例 2 已知两圆

5、C1： x2 y22 x10 y240， C2： x2 y22 x2 y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_解析：两圆相减即得 x2 y40.答案： x2 y40例 3 设直线 x my10 与圆( x1) 2( y2) 24 相交于 A、 B 两点，且弦 AB 的长为 2 ，则实数 m 的值是3_解析：由题意得，圆心(1,2)到直线 x my10 的距离 d 1，即 1，解得 m .4 3|1 2m 1|1 m2 33答案：33例 4 若 a， b， c 是直角三角形 ABC 三边的长( c 为斜边)，则圆 C： x2 y24 被直线 l： ax by c0 所截得的弦长为_解析：由题意可知

6、圆 C： x2 y24 被直线 l： ax by c0 所截得的弦长为 2 ，由于4 ( ca2 b2)2a2 b2 c2，所以所求弦长为 2 .3答案：2 3例 5 已知 M： x2( y2) 21， Q 是 x 轴上的动点， QA， QB 分别切 M 于 A， B 两点1(1)若| AB| ，求| MQ|及直线 MQ 的方程；4 23(2)求证：直线 AB 恒过定点解：(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P，则| AP| ，又| AM|1， AP MQ， AM AQ，得| MP| ，2 23 12 89 13又| MQ| ，| MQ|3.|MA|2|MP|设 Q(x,0)，而点 M(0,2

7、)，由 3，得 x ，x2 22 5则 Q 点的坐标为( ，0)或( ，0)5 5从而直线 MQ 的方程为 2x y2 0 或 2x y2 0.5 5 5 5(2)证明：设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A， B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程为 x(x q) y(y2)0，而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得 AB 的方程为 qx2 y30，所以直线 AB 恒过定点 .(0，32)例 6 过点(1，2)的直线 l 被圆 x2 y22 x2 y10 截得的弦长为 ，则直线 l 的斜率为_2解析：将圆的方程化成标准方程为( x1) 2( y1) 21，其圆心为(1,1)，

8、半径 r1.由弦长为 得弦心距为2. 设直线方程为 y2 k(x1)，即 kx y k20，则 ，化简得 7k224 k170，得22 |2k 3|k2 1 22k1 或 k .177答案：1 或177例 7 圆 x22 x y230 的圆心到直线 x y30 的距离为_3解析：圆心(1,0)， d 1.|1 3|1 3答案：1例 8 圆心在原点且与直线 x y20 相切的圆的方程为_解析：设圆的方程为 x2 y2 a2(a0) a， a ，|2|1 1 2 x2 y22.答案： x2 y22例 9 已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为_圆

9、C 的方程为 x2 y2 Dx F0，则Error!解得Error!圆 C 的方程为 x2 y24 x60.答案 (1)C (2) x2 y24 x60例 10 (1)与曲线 C： x2 y22 x2 y0 相内切，同时又与直线 l： y2 x 相切的半径最小的圆的半径是_(2)已知实数 x， y 满足( x2) 2( y1) 21 则 2x y 的最大值为_，最小值为_解析：(1)依题意，曲线 C 表示的是以点 C(1，1)为圆心， 为半径的圆，圆心 C(1，1)到直线21y2 x 即 x y20 的距离等于 2 ，易知所求圆的半径等于 .| 1 1 2|2 2 2 2 22 3 22(2)

10、令 b2 x y，则 b 为直线 2x y b 在 y 轴上的截距的相反数，当直线 2x y b 与圆相切时， b 取得最值由 1.解得 b5 ，所以 2x y 的最大值为 5 ，最小值为 5 .|22 1 b|5 5 5 5答案：(1) (2)5 53 22 5 5例 11 已知 x， y 满足 x2 y21，则 的最小值为_y 2x 1解析： 表示圆上的点 P(x， y)与点 Q(1,2)连线的斜率，所以 的最小值是直线 PQ 与圆相切时的斜率设y 2x 1 y 2x 1直线 PQ 的方程为 y2 k(x1)即 kx y2 k0.由 1 得 k ，结合图形可知， ，故最小|2 k|k2 1

11、 34 y 2x 1 34值为 .34答案：34例 12 已知两点 A(2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2 y22 x0 上任意一点，则 ABC 面积的最小值是_解析： lAB： x y20，圆心(1,0)到 l 的距离 d ，32则 AB 边上的高的最小值为 1.32故 ABC 面积的最小值是 2 3 .12 2 (32 1) 2答案：3 2例 13 平面直角坐标系 xoy 中，直线 10xy截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6（1）求圆 O 的方程；（2）若直线 l与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D，E，当 DE 长最小时，求直线 l的方程；（3）设 M，P 是圆 O

12、 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交于 x 轴于点（m，）和（n，） ，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解： 因为 点到直线 10xy的距离为 12， 所以圆 的半径为 226()，故圆 O的方程为 2xy 设直线 l的方程为 1(0,)ab，即 0xayb，由直线 与圆 相切，得 2，即 21， 22()8DEabab ，当且仅当 时取等号，此时直线 l的方程为 0xy 设 1(,)Mxy， 2(,)Pxy，则 1(,)Nxy， 2， 2，1直线 MP与 x轴交点 121(,0)yx， 121xym，直线 N与 轴交点 21

13、,， 21n， 222121 1 11()()xyxyxyyymnA，故 为定值 2 例 14 圆 x2+y2=8 内一点 P（1，2） ，过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ，直线 l 交圆于 A、B 两点.（1）当 = 43时,求 AB 的长；（2）当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程.解:（1）当 = 43时，k AB=1，直线 AB 的方程为 y2= （x+1） ，即 xy1=0.故圆心（0，0）到 AB 的距离 d= 210= ，从而弦长|AB|=2 218= 3.（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2=2，y 1+y2=4.由 ,82两式

14、相减得（x 1+x2） （x 1x 2）+（y 1+y2） （y 1y 2）=0 ，即2（x 1x 2）+4（y 1y 2）=0，k AB= y.直线 l 的方程为 y2= 2（x1） ，即 x2y5=0.例 15 已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:xy+10=0 上.(1)若动圆 C 过点( 5,0), 求圆 C 的方程;(2)是否存在正实数 r,使得动圆 C 中满足与圆 O:x2+y2=r2 相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆 C 的方程为(x a) 2+(yb) 2=25,其中圆心(a,b)满足 ab+10=0.又动圆

15、过点(5,0),( 5a) 2+(0b) 2=25.解方程组 )0()5(12ba,1可得 01ba或 5,故所求圆 C 的方程为(x+10) 2+y2=25 或(x+5) 2+(y5) 2=25.(2)圆 O 的圆心 (0,0)到直线 l 的距离 d= 10=5 .当 r 满足 r+5d 时，动圆 C 中不存在与圆 O：x 2+y2=r2 相外切的圆；当 r 满足 r+5d 时，r 每取一个数值，动圆 C 中存在两个圆与圆 O：x 2+y2=r2 相外切；当 r 满足 r+5=d,即 r=5 25 时，动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O：x 2+y2=r2 相外切.题目1自点 (,4)A

16、作圆 22()(3)1xy的切线 l，则切线 l的方程为 2求与圆 52yx外切于点 )2,1(P，且半径为 52的圆的方程.3若点 P 在直线 l1：xy30 上，过点 P 的直线 l2 与曲线 C：(x5) 2y 216 相切于点 M，则 PM 的最小值 4设 O 为坐标原点，曲线 x2+y2+2x6y+1=0 上有两点 P、Q，满足关于直线 x+my+4=0 对称，又满足 P Q=0.（1）求 m 的值；（2）求直线 PQ 的方程.15已知圆 C：x 2+y22x+4 y-4=0,问是否存在斜率是 1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得的弦 AB，以 AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.6. 已知曲线 C：x 2+y24ax2ay2020a=0.（1）证明：不论 a 取何实数，曲线 C 必过定点；（2）当 a2 时，证明曲线 C 是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线 C 与 x 轴相切，求 a 的值.