相似三角形”A“字模型含详细答案经典.docx

1、 1学员姓名 年 级 辅导科目 数学学科教师 李明 班 主 任 授课时间 教学课题教学目标教学重难点课前检查作业完成情况： 优 良 中 差建 议: 教学内容一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等与 相似，则有 ABC ABC， ，2相似三角形的对应边成比例与 相似，则有 （ 为相似比） kAB3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比与 相似， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则有ABC AMBC AMBC （ 为相似比） kk与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有 H H （ 为相似比） kABCAk与 相似， 是 中 的角平分

2、线， 是 中 的角平分线， DBC AADBC A则有 （ 为相似比） kk4相似三角形周长的比等于相似比与 相似，则有 （ 为相似比） 应用比例的等比性质有ABC ABkCk5相似三角形面积的比等于相似比的平方与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有ABC AHB AHBC 2（ 为相似比） 进而可得 ABCAHkk 212ABCHSBCAk二、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角

3、形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似三、相似证明中的基本模型A 字形图 字型，DE/BC ;结论： ，ADEBC【例 1】李老

4、师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，DFAC，求证：ADE DBF 证明：又DFAC ，DE BC ，A=BDF，ADE=B，ADE DBFA B C D【解答】证明：DEBC ，ADE=B，又DFAC，A=BDF，ADE DBF故选：B 3【练 1】如图，在ABC 中，ACB=90，BC=16cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发，以 2cm/秒的速度向点 C移动，同时点 Q 从点 C 出发，以 1cm/秒的速度向点 A 移动，设运

5、动时间为 t 秒，当 t= 4.8 或 秒时，CPQ 与 ABC 相似【解答】解：CP 和 CB 是对应边时， CPQ CBA，所以， ，即 ，解得 t=4.8；CP 和 CA 是对应边时，CPQCAB，所以， ，即 ，解得 t= 综上所述，当 t=4.8 或 时，CPQ 与CBA 相似故答案为 4.8 或 图反 字型，ADE= B 或1=B 结论：AAEDCB【例 2】如同，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，下列条件中不能判断ABCAED 的是（ ）A = B = CADE=C DAED= B【解答】解：DAE=CAB，当AED=B 或ADE= C 时，ABC AED；当

6、= 即 = 时， ABCAED故选：A4【例 3】如图，P 是ABC 的边 AB 上的一点 （不与 A、B 重合）当ACP= B 时，APC 与ABC 是否相似；当 AC、 AP、AB 满足 时，ACP 与 ABC 相似【解答】解：A=A，ACP= B ，ACPABC； ，A=A，ACP 与ABC；故答案为：B； 【练习 1】如图，D、E 为ABC 的边 AC、AB 上的点，当 ADE=B 时，ADEABC其中 D、E 分别对应 B、C （填一个条件） 【解答】解：当ADE=B，EAD=CAB，ADE ABC故答案为ADE=B【练习 2】如图，在ABC 中，D、E 分别在 AB 与 AC 上，

7、且 AD=5，DB=7，AE=6，EC=4求证：ADE ACB 【解答】证明：AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，AB=5 +7=12， AC=6+4=10， = = = = ， = ，又A=A，ADE ACB【练习 3】如图，AB=AC，A=36，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABC BCD 【解答】证明：AB=AC，A=36，ABC= C=72 ，BD 是角平分线，ABD= DBC=36，A=CBD，又C=C，ABC BCD5【练习 4】已知：如图，ABC 中，ACD=B，求证： ABC ACD【解答】证明：ACD=B，A=A，ABC ACD【练习 5】如图，已知 ADAC=ABA

8、E 求证：ADEABC【解答】证明：ADAC=AEAB， = 在ABC 与ADE 中 = ， A=A ，ABC ADE【练习 6】已知：如图，在 ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的点，且 AD= AE，连接 DE若AC=4，AB=5 求证：ADE ACB【解答】证明：AC=3，AB=5，AD= ， ，A=A，ADE ACB图双 字型 【例 4】如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，AED=ABC，BAC 的平分线 AF 交 DE 于点G，交 BC 于点 F（1 ）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2 ）若 = ，求 的值【解答】解：（1）AED=ABC，EA

9、D=BAC ，ABC AEDAED=ABC，EAG=BAF，AEGABF6EDG= ACF ，DAG=CAF，ADGACF （2 ） = ， = ，ADGACF ， = = 【练习 1】如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AE=4，AB=6 ，AD：AC=2：3，ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F（1 ）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2 ）求 AG 与 GF 的比【解答】解：（1）ADGACF ，AGEAFB ，ADEACB ；（2 ） = = ， = ， = ，又DAE=CAB，ADE ACB，ADG=C，AF 为角平分线，DAG=FA

10、EADGACF ， = = ， =27图内含正方形 字形，结论 （ 为正方形边长）AHaABC【例 5】如图，ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=40cm，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M（1 ）求证： = ；（2 ）求这个矩形 EFGH 的周长；（3 ）是否存在一个实数 a，当 HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出 a；若不存在，请说明理由【解答】 （1）证明：四边形 HEFG 为矩

11、形，HGEF，而 ADBC，AM BC ，AHG ABC， = ；（2 ）解：设 HE=x，HG=2x，则 = ，解得 x=12，这个矩形 EFGH 的周长=2x +4x=6x=72（cm ） ；（3 ）存在当 HE=a，则 = ，HG= a+30，S 矩形 HEFG=a（ a+30）= a2+30a，当 a= = 时，S 矩形 HEFG 最大，即当 HE= cm 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大8【练习 1】如图，ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=80cm，AD=60cm ，从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边

12、 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M（1 ）试说明： = 的理由；（2 ）求这个矩形 EFGH 的面积【解答】 （1）证明：四边形 EFGH 为矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG=BAC，AHG ABC， = ；（2 ）解：设 HE=xcm，MD=HE=xcm，AD=60cm，AM=（ 60x） cm，HG=2HE，HG=2xcm，由（1）得 ，可得 = ，解得，x=24 ，故 HE=24，HG=2x=48，则矩形 EFGH 的面积 =2412=1152cm2【例 6】如图，在ABC 中，D 为 AC 上一点，E 为 CB 延长线上一点

13、，且 ，求证：AD=EB【解答】证明：过 D 点作 DHBC 交 AB 于 H，如图，DH BC，AHDABC， = ，即 = ，DH BE，9BEF HDF， = ，而 ， = ，AD=EB【例 7】如图，在ABC 中，BAC=90，BC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 CA 的延长线于 D，交 AB 于点F，求证：AE 2=EFED【解答】解：BAC=90，B+C=90，D+C=90，B=D，BC 的垂直平分线交 BC 于点 E，BAC=90BE=EA，B=BAE ，D=BAE ，FEA=AED，FEAAED， =AE 2=EFED“旋转型”相似三角形，如图若图中1=2，B= D(或C

14、=E)，则ADEABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的【例 8】如图，在ABC 与ADE 中，BAC= D，要使ABC 与ADE 相似，还需满足下列条件中的（ ）A = B = C = D =【解答】解：BAC=D， ，ABC ADE故选：C10【练习 1】如图所示，在ABC 与ADE 中，ABED=AEBC，要使ABC 与ADE 相似，还需要添加一个条件，这个条件是 B=E（答案不唯一） （只加一个即可）并证明【解答】解：条件，B= E证明：ABED=AEBC， = B=E，ABC AED条件， = 证明：ABED=AEBC， = = ， = = ，ABC AED故答案为：B=E（答案不唯一） 【练习 2】如图，已知：BAC=EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17 ，AD=40求证：ABC AED【解答】证明：AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40 = =1.2， = =1.2， = ，BAC= EAD，ABC AED【练习 3】如图，在ABC 和ADE 中，已知B=D， BAD=CAE，求证：ABC ADE【解答】解：如图，BAD=CAE，BAD+BAE=CAE+BAE，即DAE=BAC又B=D，