六年级奥数100题.doc

1、1六年级奥数 100 题1.很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨 2 阶，那么最后剩下 1 阶；如果你每步跨 3 阶，那么最后剩 2 阶；如果你每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶；如果你每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶；只有当你每步跨 7 阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？分析与解：分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6 的公倍数（即 30 的倍数）小 1，并且是 7 的倍数。因此只需从29、59、89、119、中找 7 的倍数就

2、可以了。很快可以得到答案为 119 阶。2.明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共 72 支。现在华华从自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅笔支数的 8 倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？分析与解：有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想比较方便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72 支）是

3、不变的；又知道最后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的 8 倍。这样我们可以求出最后两人手中铅笔的支数。2华华最后手中铅笔的支数是：72（81）=8（支）明明最后手中铅笔的支数是：88=64（支）接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。答案是：明明最初有铅笔 26 支，华华最初有铅笔 46 支。3.六年级举行中国象棋比赛，共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？分析与解：一共要赛 66 盘。要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。假如 2 个人（A、B）参赛，那只赛 1 盘就可以了；假如 3 个人（A、B

4、、C）参赛，那么 AB、AC、BC 要赛 3 盘；假如 4 个人参赛，要赛 6 盘，于是我们可以发现：2 人参赛，要赛 1 盘，即 1；3 人参赛，要赛 3 盘，即 1+2；4 个参赛，要赛 6 盘，即 1+2+3；5 人参赛，要赛 10 盘，即1+2+3+4；那么，12 人参赛就要赛 1+2+3+11=66 盘。我们还可以这样想：这 12 个人，每个人都要与另外 11 个人各赛 1 盘，共 1112=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如 AB 赛一盘，BA 又算了一盘），所以实际一共要赛1322=66（盘）。4.3请你把 18 这八个数分别填入下图所示正方体顶点

5、的圆圈里，使每个面的 4 个角上的数之和都相等。分析与解：做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数的方法。分别用这 8 个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用分析、计算的方法。这道题可以分析、计算如下：在计算各个面上 4 个数的和时，顶点上的数总是分属 3 个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3 次。因此，各个面上 4 个数的和为 18 这 8 个数的和的 3 倍，即（12+3+.+8）3=108.又因为正方体有 6 个面，也就是每个面上的四个数的和应是 1086=18.18 应是我们填数的标准。如果在前面上填入 1、7、2、8（如图 31），那么右侧面上已有

6、2、8，其余两顶点只能填 3、5.以此类推，答案如图 31 所示。5.晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这4盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1 个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3 个是同一颜色的？”听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？分析与解：至少拿 7 次，才能保证其中有 3 个棋子同一颜色。我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第 4 次

7、开始，将有 2 个棋子是同一颜色。到第 6 次，三种颜色的棋子各有 2 个。当第 7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的 6 个棋子中必有 2 个与它同色，即出现 3 个棋子同一颜色的现象。同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有 4 个棋子同一颜色，至少要拿几次？如果要求 5 个棋子的颜色相同呢？6. 5 猴摘了一堆桃子。决定睡后再分。过了一段时间，来了一只猴，把桃平均分 5 份，结果多出了 1 个，就把多出的 1 个吃了，拿走其中的一份；又过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成 5 份，发现也多一个，同样吃了 1 个，拿走其中的 1 份，第 3，4，5 只都是

8、这样，问 5 只猴至少摘了多少桃子？第 5 只猴子走后还剩多少个桃子？【解答】： 设桃子共有 X 个，借 4 个桃成为 X+4 个。多一个桃就相当于少 4 个桃。5 个猴子分别拿了 A,B,C,D,E 个桃子。因此有：A=(X+4)/5B=4(X+4)/25C=16(X+4)/125D=64(X+4)/625E=256(X+4)/31255E 为整数，所以 X+4=3125K当 K=1 时，X=3121因此最少摘了 3121 个桃子。然后容易算出最后至少剩余 1020 个桃子。7.唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟 100 米。唐老鸭手中掌握一

9、种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第 n 次指令，米老鼠就以原来速度的 n10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是_次。解答8.从 1 至 25 这 25 个自然数中，每次取出两个不同的数，使他们的和是 4的倍数，共有多少种不同的取法解答：按除以 4 的余数分类：（4，8，12，16，20，24）中任取 2 个：共 15（2，6，10，14，18，22）中任取 2 个：共 15（1，5，9，13，17，21，25）和（3，7，11，15，19，23）中各取 1 个：76=426共有 15+15+42=72 种。9

10、.是否存在自然数 n，使得 n2n2 能被 3 整除？解答：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以 3 的余数分类，有整除、余 1 和余 2 三类，这样只要按类一一枚举就可以了。当 n 能被 3 整除时，因为 n2，n 都能被 3 整除，所以（n2n2）3 余 2；当 n 除以 3 余 1 时，因为 n2，n 除以 3 都余 1，所以（n2n2）3 余 1；当 n 除以 3 余 2 时，因为 n23 余 1，n3 余 2，所以（n2n2）3 余 2.因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2

11、n2）都不能被 3 整除。10. 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A 点爬到桶内的 B 点去寻找食物，已知 A 点沿母线到桶口 C 点的距离是 12 厘米， B 点沿母线到桶口 D 点的距离是 8 厘米，而 C、D 两点之间的（桶口）弧长是 15 厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？7解答：我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于 B 点在里面，不便于作图，设想将 BD 延长到 F，使 DFBD，即以直线 CD 为对称轴，作出点 B 的对称点 F，用 F 代替 B，即可找出最短路线了将圆柱面展成平面图形（上图），延长 BD 到 F，使 DF=B

12、D，即作点 B 关于直线 CD 的对称点 F，连结 AF，交桶口沿线 CD 于 O因为桶口沿线 CD 是 B、F 的对称轴，所以 OBOF，而 A、F 之间的最短线路是直线段 AF，又 AF=AOOF，那么 A、B 之间的最短距离就是 AOOB，故蚂蚁应该在桶外爬到 O 点后，转向桶内 B 点爬去延长 AC 到 E，使 CE=DF，易知AEF 是直角三角形，AF 是斜边，EF=CD，根据勾股定理， AF 2=（AC+CE）2+EF 2（128） 215 2625=25 2，解得 AF=25即蚂蚁爬行的最短路程是 25 厘米11.甲仓有粮 80 吨，乙仓有粮 120 吨，如果把乙仓的一部分粮调入

13、甲仓，使乙仓存粮是甲仓的 60，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？答案与解析：甲仓有粮：（80120）（160）=125（吨）.从乙仓调入甲仓粮食：125-80=45（吨）.出三个正方形的边长是成比例缩小的，即为一个等比数列，而这个比就要用到相似三角形的知识点。这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候提到过。可以说是一道难度比较大的题。当然对于这种有特点812.如图，ABCG 是 的长方形，DEFG 是 的长方形。那么，三角形 BCM 的面积与三角形 DCM 面积之差是多少？答案与解析：长方形 ABCG 的面积是 28，长方形 DEFG 的面积是 20，梯形ABEF 的面积是 51，从图中

14、可以看出，三角形 BCM 的面积与三角形 DCM 面积之差就等于梯形 ABEF 的面积减去长方形 ABCG 的面积再减去长方形 DEFG 的面积，得到结果13.自然数 1 用了 1 个数字，自然数 20 用了 2 和 02 个数字，从自然数 1 到510 共用了多少个数字 ？答案与解析：一位数 1-9 一共用了 9 个数字二位数 10-99 中，有 11-99 共 9 个特殊的数，这样的数只用了 1 个数字，而其他的两位数每个都用了 2 个数字。于是一共用了 2x(90-9)+9=171三位数中，先考虑 100-199 的情况。其中，111 用了 1 个数字；100,122199 一共有 9

15、个数，每一个都用到了 2 个数字；101,121,131191一共 9 个数，每一个都用到了 2 个数字；其他的每一个都用到了 3 个数字。所以一共用了 3x(100-9-9-1)+2x9+2x9+1=280.同理，200-299 中也用了 280 个，300-399 用了 280 个，400-499 用9了 280 个。这时候，就已经用了 280x4+171+9=1300。从 500-510 中还能用到3x9+2+2=31 所以一共 1300+31=1331 个14.已知甲车速度为每小时 90 千米，乙车速度为每小时 60 千米，甲乙两车分别从 A,B 两地同时出发相向而行，在途径 C 地时

16、乙车比甲车早到 10 分钟；第二天甲乙分别从 B,A 两地出发同时返回原来出发地，在途径 C 地时甲车比乙车早到 1 个半小时，那么 AB 距离是多少?答案与解析：画图可知某一个人到 C 点时间内，第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差 9010/60=15 千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差 601.5=90 千米。而速度比为 3：2；这样我们可以知道甲走的路程就是：（90-15）（3-2）3=215,所以全程就是215+15=230 千米。15.甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班和乙班步行的速度都是每小时 4 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时 68

17、千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达公园，已知公园相距学校 100 千米，求汽车行驶的总路程。答案与解析：为了使两个班同时到达公园，那么必须汽车来回接送一次，这是一个接送问题，接送问题关键就是画好路线图，车先载着甲从 A 到 C，然后放下甲，回去接乙，在 D 碰到乙，然后乙坐上车，跟甲同时到 B，因为甲班和乙班的步行速度一样，又是同时到达，所10以甲班和乙班的步行路程也一样，所以 AD 等于 BC，根据时间一样，步行和汽车的速度比等于步行和汽车的路程比，如果设乙走的 AD 为 1 份，那么车走的 AC 加上 CD 为 17 份，1+17=2AC，所以 AC 为 9 份，又

18、BC 也为 1 份，所以总路程 AB 被我们分成了 10 份，全长为 100 千米，一份即为 10 千米，我们再看汽车走的一共有 9+8+9=26 份，所以汽车行驶的总路车为 260 千米。16.甲乙两人在 A、B 两地间往返散步，甲从 A、乙从 B 同时出发；第一次相遇点距 B 处 60 米。当乙从 A 处返回时走了 lO 米第二次与甲相遇。A、B 相距多少米?答案与解析：“第一次相遇点距 B 处 60 米”意味着乙走了 60 米和甲相遇，根据总结，两次相遇两人总共走了 3 个全程，一个全程里乙走了 60，则三个全程里乙走了 360=180 米，第二次相遇是距 A 地 10 米。画图我们可以

19、发现乙走的路程是一个全程多了 10 米，所以 A、B 相距=180-10=170 米。17.甲，乙两人在一条长 100 米的直路上来回跑步，甲的速度 3 米/秒，乙的速度 2 米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了 10 分钟后，共相遇多少次？答案与解析：10 分钟两人共跑了（32）6010=3000 米 3000100=30 个全程。我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7。29 共 15 次。18.王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12 分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔 4 分钟迎面开来一辆，如果所有汽车