1、50初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法1 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例 1 因式分解：x 4+x2+1 a 3+b3+c33abc分析：x 4+1 若添上 2x2 可配成完全平方公式解：x 4+x2+1x 4+2x2+1x 2=(x2+1)2x 2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a 3+b3 要配成（a+b） 3 应添上两项 3a2b+3ab2解：a 3+b3+c33abca 3+3a2b+3ab2b 3+c33abc3a 2b3ab 2（
2、a+b） 3+c33ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) 2(a+b)c+c 23 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2ab acbc)例 2 因式分解：x 311x+20 a 5+a+1 分析：把中项11x 拆成16x+5x 分别与 x5,20 组成两组，则有公因式可提。 （注意这里 16 是完全平方数） 解：x 311x+20x 316x+5x+20x（x 216）+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4) =(x+4)(x 24x+5) 分析：添上a 2 和 a2 两项，分别与 a5 和 a+1 组成两组，正好可以用立方差公式解：a 5+a+1a 5a 2
3、+a2+a+1=a2(a31)+ a 2+a+1=a2(a1)( a 2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3a 2+1)2 运用因式定理和待定系数法定理：若 x=a 时，f(x)=0, 即 f(a)=0 ，则多项式 f(x)有一次因式 xa 若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。例 3 因式分解：x 35x 2+9x6 2x 313x 2+3分析：以 x=1,2,3,6（常数 6 的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2 时，x 35x 2+9x60，原式有一次因式 x 2，x 35x 2+9x6（x 2） （x 2
4、3x+3,）分析：用最高次项的系数 2 的约数1，2 分别去除常数项 3 的约数1，3 得商1，2， ， ，再分别以这些商代入原式求值，3可知只有当 x= 时，原式值为 0。故可知有因式 2x-151解：x= 时，2x 313x 2+30，原式有一次因式 2x1， 21设 2x313x 2+3（2x1） （x 2+ax3） ， （a 是待定系数）比较右边和左边 x2 的系数得 2a113， a=62x 313x+3（2x1） （x 26x3） 。例 4 因式分解 2x2+3xy9y 2+14x3y+20解：2x 2+3xy9y 2（2x3y）(x+3y), 用待定系数法，可设2x2+3xy9y
5、 2+14x3y+20 （ 2x3ya ） （x+3y b） ，a,b 是待定的系数，比较右边和左边的 x 和 y 两项 的系数，得解得314ba54b2x 2+3xy9y 2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)又解：原式2x 2+(3y+14)x(9y 2+3y20) 这是关于 x 的二次三项式常数项可分解为（3y4） （3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x(9y 2+3y20)mx（3y4） nx+（3y+5） 比较左、右两边的 x2 和 x 项的系数，得 m=2, n=12x 2+3xy9y 2+14x3y+20（2x3y+4）(x+3y+5)丙练习 19
6、1 分解因式：x 4+x2y2+y4 x 4+4 x 423x 2y2+y42. 分解因式： x 3+4x29 x 341x+30 x 3+5x218 x 339x703. 分解因式：x 3+3x2y+3xy2+2y3 x 33x 2+3x+7 x 39ax 2+27a2x26a 3 x 3+6x2+11x+6 a 3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+24. 分解因式：3x 37x+10 x 311x 2+31x21 x 44x+3 2x 35x 2+15. 分解因式：2x 2xy3y 26x+14y8 （x 23x3） （x 2+3x+4）8（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)48
7、 （2x7）(2x+5)(x 29)916分解因式： x 2y2+1x 2y 2+4xy x 2y 2+2x4y3x 4+x22ax a+1 （x+y） 4+x4+y4 （a+b+c） 3（a 3+b3+c3）7. 己知：n 是大于 1 的自然数 求证：4n 2+1 是合数8己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5且知 f(x)是 g(x)的因式，也是 p(x)的因式求：当 x=1 时，f(x) 的值52练习 19 答案1. 添项，配成完全平方式(仿例 3) 2.拆中项，仿例 13. 拆项，配成两数和的立方原式=(x+y) 3+y3原式=(x-3a) 3+a3 原式=(a+1) 3+(b+1)34. 用因式定理，待定系数法，仿例 5，6 x= 时，原式=0 ，有因式 2x1215. 看着是某代数式的二次三项式，仿例 7原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x2-x-28)=6. 分组配方原式=(x 2+1)2-(x+a)2 把原式用乘法展开，合并，再分解以 a=b 代入原式0，故有因式 a+b7. 可分解为两个非 1 的正整数的积8. 提示 g(x),p(x)的和，差，倍仍有 f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(x 2-2x-5)与 f(x)比较系数，f(1)=4
