函数与方程——教案.doc

1、1函数与方程一、要点梳理1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数 yf(x ) (xD)，把使_ f(x)0_成立的实数 x 叫做函数 yf(x) (xD )的零点(2)几个等价关系：方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图像与 _ x 轴_有交点函数y f(x)有_零点 _(3)函数零点的判定(零点存在性定理 )：如果函数 yf(x )在区间 a，b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有_ f(a)f(b)0)的图像与零点的关系0 0 0)的图像与 x 轴的交点 (x1,0)，(x 2,0) (x1,0) 无交点零点个数 2 1 03.二分法对于在区间a，b上连续不断且_ f (a)

2、f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要二、基础检测1(课本改编题)设 f(x)3 x3x8，用二分法求方程 3x3x80 在 x(1,2)内近似解的过程中得 f(1)0，f (1.25)0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ a1_5已知函数 f(x)x 2x a 在区间 (0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是_(2,0)_.题型一 判断函数在给定区间上零点的存在性例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x 23x18，x 1,8；(2)f(x)log 2(x2)x，x1,3解：(

3、1)f(1)1 23118200 ，f(1)f(8)0)，则 yf(x) ( D )13A在区间 ，(1 ，e) 内均有零点 B在区间 ，(1 ，e)内均无零 点(1e，1) (1e，1)C在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点(1e，1)3D在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点(1e，1)题型二 函数零点个数的判断例 2 若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2) f (x)，且当 x0,1 时，f (x)x，则函数yf( x) log3|x|的零点个数是_4_(2011山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x2c 2b，求证：a2(1)a0

4、且32c2b， 3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2 b.a0，30 时，a0，f(0)c0 且 f(1) 0，来源:学科网 ZXXKf(1) 0，a2函数 f(x)在区间(1,2) 内至少有一个零点综合得 f(x)在(0,2) 内至少有一个零点(3)x 1，x2 是函数 f(x)的两个零点，则 x1，x2 是方程 ax2bx c 0 的两根x 1x 2 ，x1x2 .ba ca 32 ba|x 1x 2| x1 x22 4x1x2 ba2 4 32 ba .ba 22 230)e2x(1)若 yg(x) m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)

5、0 有两个相异实根审题视角 (1)yg(x)m 有零点即 yg(x)与 ym 的图像有交点，所以可以结合图像求解(2)g(x) f (x)0 有两个相异 实根yf(x)与 yg(x)的图像有两个不同交点，所以可利用它们的图像求解5规范解答解 (1)方法一 g(x )x 2 2e，e2x e2等号成立的条件是 xe ，故 g(x)的值域是2e，)， 3 分 因而只需 m2e， 则 yg(x )m 就有零点 6 分方法二 作出 g(x)x (x0)的大致图像如图： 3 分 e2x可知若使 yg( x)m 有零点，则只需 m2e. 6 分(2)若 g(x)f(x)0 有两 个相异的实根，即 g(x)

6、与 f(x)的图像有两个不同的交点，作出 g(x)x (x0)的大致 图像 8 分 e2xf(x)x 22e xm1(xe) 2m1e 2.其图像的对称轴为 xe，开口向下，最大值为 m1e 2. 10 分故当 m1e 22e，即 me 22e1 时， g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)f(x)0 有两个相异实根m 的取值范围是(e 22e 1， ) 12 分批阅笔记 (1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解(2)本题的易错点在于确定 g(x)的最

7、小值和 f(x)的最大值时易错要注意函数最值的求法三、方法与技巧1函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2) 数形结合；(3) 解方程 f(x)0.2研究方程 f(x)g(x )的解， 实质就是研究 G(x)f(x)g(x)的零点3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值课时规范训练(时间：60 分钟)6A 组 专项基础训练题组来源:学科网一、选择题1已知函数 f(x)log 2x x，若实数 x0 是方程 f(x)0 的解，且 00 时，f(x) 2 012x

8、log 2 012x，则在 R 上，函数f(x)零点的个数为_3_5已知函数 f(x)x2 x，g( x)x ln x，h( x)x 1 的零点分别为 x1，x 2，x 3，则xx1，x 2，x 3 的大小关系是 _ x10，289（ -）若存在实数 a 满足条件，则只需 f(1)f (3)0 即可f(1)f(3)(1 3a2a1)(99a6a1)4(1 a)(5 a1)0.所以 a 或 a1.15检验：当 f(1)0 时，a1.所以 f(x)x 2x .令 f(x)0，即 x2x0.得 x0 或 x1.方程在1,3 上有两根，不合题意，故 a1.7当 f(3)0 时，a ，15此时 f(x)

9、x 2 x ，135 65令 f(x)0，即 x2 x 0，135 65解之得 x 或 x3.25方程在1,3 上有两根，不合题意，故 a .15综上所述，a1.158已知函数 f(x)4 xm2 x 1 有且仅有一个零点，求 m 的 取值范围，并求出该零点解：f(x) 4 xm2 x1 有且 仅有一个零点，即方程(2 x)2m 2x10 仅有一个实根设 2xt (t0)，则 t2mt10.当 0 时，即 m240，m2 时，t1；m2 时，t 1(不合题意，舍去 )，2 x1 ，x0 符合题意当 0时，即 m240 ，解得：m 2 或 m0) 的解的个数是 ( B )A1 B2 C3 D43

10、(2011陕西)函数 f(x) cos x 在0，)内 ( B )xA没有零点 B有且仅有一个零点 C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点二、填空题4已知函数 f(x)x 2(1 k)xk 的一个零点在(2,3)内，则实数 k 的取值范围是_(2,3)_来源:学_科_网5已知函数 yf( x) (xR) 满足 f(x2)f(x)，当 x 1,1时，f(x) | x|，则 yf(x)与 ylog 7x 的交点的个数为_6已知函数 f(x)Error!，若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_7设 mN，若函数 f(x)2xm m10 存在整 数零点，则 m 的取值集合

11、为10 x_三、解答题来源:学科网8(1)m 为何值时， f(x)x 22mx3m4.9有且仅有一个零点；有两个零点且均比1 大；(2)若函数 f(x) |4xx 2|a 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围解：(1)，f(x)x 22mx3m 4 有且仅有一个零点方程 f(x)0 有两个相等实根0，即 4m24(3m4) 0，即 m23m 40， m 4 或 m1.方法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1，x2，则 x1x 2 2m，x1x23m4.由题意，知Error!Error! Error!5m 1.故 m 的取值范围为(5，1)方法二 由题意知Error!即 Error! 41,5m或5m 1.m 的取值范围为(5，1)注：对称轴 1,x(2)令 f(x)0，得|4x x 2|a0 ，即|4 xx 2|a.令 g(x)|4xx 2|，h(x)a.作出 g(x)、h(x)的图像由图像可知，当 0a4，即4a0 时，g(x)与 h(x)的图像有 4 个交点，即 f(x)有 4 个零点故 a 的取值范围为(4,0)