一元二次方程的实际应用教案.doc

1、第 08 讲 一元二次方程的实际应用适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级适用区域 全国 课时时长（分钟） 120 分钟知识点 1.一元二次方程解应用题的步骤 2.增长率问题公式3.面积问题4.利润问题5.“每每”问题6.储蓄问题教学目标 1.掌握列方程解应用题的步骤和关键2.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程 解实际问题的重要性3.通过探究性学习,抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简洁性的数学美.教学重点 1.列一元二次方程解决实际问题2.审题，从文字语言中挖掘有价值的信息.教学难点 找出实际问题中的等量关系教学过程一、复

2、习预习我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下：1. 用直接开平方法解方程 ，得方程的根为（ ）2(3)8xA. B. 32x12,3xC. D. x2. 方程 的根是（ ）2(1)0xA0 B1 C0，1 D0，1 3. 设 的两根为 ，且 ，则 。()2x、 2x12x4. 已知关于 的方程 的一个根是2，那么 。x24kk5. 243(_)x今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20 件,每件盈利 40 元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降

3、价 1 元,商场平均每天多售出 2 件,若商场平均 每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元? 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下: 解:设每件衬衫应降价 x 元,则每件所获得的利润为 (40x) 元,但每天可多销出 2x 件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程 :(40x)(20+2x)=1200 x230x+200=0 解得:x 2=20 x2=10 答:若商场每天要盈利 1200 元,每件应降价 10 元或 20 元.当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去 1 分,他百思不得其解,为什么要扣去 1 分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?当降价 20 元或 10 元时,每天

4、都能盈利 1200 元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价 20 元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。二、知识讲解1列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答” (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系这一步是解决问题的基础； (2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影

5、响着列方程与解方程的难易； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式，即方程找出相等关系列方程是解决问题的关键； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度 不能为负数，降低率不能大于 100%等等因此，解出方程的根后，一定要进行检验2.数与数字的关系: 两位数=(十位数字)10个位数字 三位数=(百位数字)100(十位数字)10 个位数字 3.翻一番 翻一番即表示为原量的 2 倍，翻两番即表示为原量的 4 倍4.增长率问题 (1)增长率问题的

6、有关公式：增长数=基数 增长率 实际数=基数增长数 (2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的(1增长率) 增长期数= 后来的 m(1+x)2n (mn).如果是下降率则为：原来的(1增长率)下降期数= 后来的 m(1x) 2n (mn).5.经济问题常用的公式：（1）利润=售价-进价；（2）售价=标价 折扣；（3）利润率=利润进价100%.6.列方程解应用题的关键 (1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系； (2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确

7、选择设未知数的方法和正确地设出未知数 考点/易错点 1要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系.考点/易错点 2由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的.三、例题精析【例题 1】【题干】恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.【答案】解:设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 200(120%)(1+ x)2193.6，即(

8、1+x) 21.21，解这个方程，得 x10.1，x 2 2.1（舍去）.答:这两个月的平均增长率是 10%.【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1x) 2n 即可求解，其中 mn.【变式练习】【题干】某农场去年种植了 10 亩地的南瓜，亩产量为 2000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的 2 倍，今年南瓜的总产量为 60 000kg，求南瓜亩产

9、量的增长率【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为 x，则种植面积的增长率为 2x根据题意，得10()0(1)60xA 解这个方程，得 .5， 2x（不合题意，舍去） 答：南瓜亩产量的增长率为 【解析】根 据 增 长 后 的 产 量 =增 长 前 的 产 量 （ 1+增 长 率 ） ， 设 南 瓜 亩 产 量 的 增 长 率为 x， 则 种 植 面 积 的 增 长 率 为 2x， 列 出 方 程 求 解 【例题 2】【题干】益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利

10、400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？【答案】解:根据题意，得(a21)(35010a) 400，整理，得 a256a+7750，解这个方程，得 a125，a 231.因为 21(1+20%)25.2 ，所以 a2=31 不合题意，舍去.所以 35010a3501025100（件）.答:需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元.【解析】商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点,根据：每件盈利销售件数=总盈利额；其中，每件盈利= 每件售价-每件进价,建立等量关系.【例题 3】【题干】王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金

11、和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共 530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）【答案】解:设第一次存款时的年利率为 x,则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得 90x2+145x30.解这个方程，得 x10.02042.04%，x 21.63.由于存款利率不能为负数，所以将 x21.63 舍去.答:第一次存款的年利率约是 2.04%.【解析】储蓄问题关键是掌握公式：本息和=本金（1+ 利率期数）,这里是按教育储蓄求解的，应注意

12、不计利息税.【例题 4】【题干】某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张， 商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元?【答案】解：设每张贺年卡应降价 x 元则（0.3-x） （500+ ）=120 10.解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价 0.1 元【解析】本题是“每每问题” ，得到每降价 x 元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点，根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键 【变式练习】【

13、题干】商场某种新商品每件进价是 120 元，在试销期间发现，当每件商品售价为 130 元时，每天可销售 70 件，当每件商品售价高于 130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1件据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为 170 元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到 1600 元？（提示：盈利售价进价）【答案】解：（1）当每件商品售价为 170 元时，比每件商品售价 130 元高出 40 元，即 7034（元） ， 则每天可销售商品 30 件，即 7043（件）商场可获日盈利为 12

14、15（元） （2）设商场日盈利达到 1600 元时，每件商品售价为 x元，则每件商品比 130 元高出130x元，每件可盈利 0x元,每日销售商品为 701320x（件） 依题意得方程 2126 整理，得 5x 即 21x 解得 160 答：每件商品售价为 160 元时，商场日盈利达到 1600 元【解析】解 与 变 化 率 有 关 的 实 际 问 题 时 ： （ 1） 注 意 变 化 率 所 依 据 的 变 化 规 律 ， 找出 所 含 明 显 或 隐 含 的 等 量 关 系 ；（ 2） 可 直 接 套 公 式 ： 原 有 量 （ 1+增 长 率 ） n=现 有 量 ， n 表 示 增 长

15、的 次 数 【例题 5】【题干】如图，有一块长 80cm，宽 60cm 的硬纸片，在四个角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为 1500cm2 的无盖的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.【答案】解：设截去的小正方形的边长为 cm，则x1502680x整理，得 87解得 21x，因为 ，所以 不合题意，舍去065所以 答：截去的小正方形的边长为 15cm【解析】用到的知识点是长方形的面积公式、解一元二次方程，注意把不合题意的解舍去【例题 6】【题干】一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来

16、的两位数。【答案】23 或 32【解析】解：设原两位数的十位数字为 ，则个位数字为 . 根据题意，得xx573651010x整理后，得 02解方程，得 21x，当 时， ，两位数为 23；x35当 时， ，两位数为 323答：原来的两位数为 23 或 32四、课堂运用【基础】1.为执行“两免一补” 政策，某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元，预计 2008 年投入 3600万元设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，则下列方程正确的是（ ）A 25036x B250(1)360C (1%)0 D25(1)360xx【答案】 B【解析】 本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长

17、前的量（1+增长率） ，如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，然后用 x 表示 2008 年的投入，再根据“2008 年投入 3600 万元”可得出方程2.某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？【答案】解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x那么 1+（1+x ）+（1+x） 2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+ ） 2=2.56，即（x+ ） 2=25613x+ =1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.63方程的根为 x1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月

18、份营业额平均增长率为 10%【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x， 那么二月份的营业额就应该是（1+x） ，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x） 23. 印度古算中有这样一首诗： “一群猴子分两队，高高兴兴在游戏， 八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，18那么猴子总数是多少？你能列出方程这个问题吗？【答案】解：设总共有 x 只猴子，根据题意，得：x=（ x） 2+1218整理得：x 2-64x+768=0【解析】找 出 等

19、 量 关 系 .【巩固】1. 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？【答案】解：设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为( x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8，整理，得 x2+0.8x1.80.12解这个方程，得 x11.8（舍去） ，x 21.所以 x+1.4+0.11+1.4+0.1 2.5.答渠道

20、的上口宽 2.5m，渠深 1m.【解析】求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.2. 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？【答案】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3.则根据题意，得 x210( x3)+x，即 x2-11x+300，解这个方程，得 x5 或 x6.当 x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答：

21、周瑜去世的年龄为 36 岁.【解析】本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真体会.3.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校2005 年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是 5786 万元，2007 年校舍改造的投入资金是 8058.9 万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程为 【答案】 25786(1)058.9x【解析】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量 【拔高】1. 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.【答案】解：设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n1) 个选手比赛一局，共计n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应