高数同济7版教案第一章函数与极限.doc

1、广西民族师范学院数计系高等数学课程教案课程代码：_ _ 061041210_总学时周学时： 51/3 开课时间： 2015 年 9 月 16 日第 3 周至第 18 周 授课年级、专业、班级：_制药本 152 班 使用教材：_ 高等数学_同济大学第 7 版_教研室： _ _数学与应用数学教研室_授课教师：_ _一、课程教学计划表章 次 内 容 讲 授 实 践一 函数与极限 13二 导数与微分 8三 微分中值定理与导数应用6四 不定积分 8五 定积分 6六 定积分的应用 6七 复习 4八九总学时 51二、教案正文第一章 函数与极限（一）教学目的：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建

2、立简单应用问题中的函数关系式。2了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形。5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6掌握极限的性质及四则运算法则。7了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型。10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理

3、、介值定理） ，并会应用这些性质。（二）重点、难点1重点 函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。2难点 函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射1. 映射概念定义 4.设 X、 Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则 ,使得对 X 中每个元素 x, f按法则 , 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称 为从 X 到 Y 的映射, f记作f : XY.其中 y 称

4、为元素 x(在映射 f 下)的像, 并记作 , 即 ,元素 x 称()fx()yf为元素 y(在映射 f 下)的一个原像; 集合 X 称为映射 f 的定义域, 记作 , 即fD。 X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域,fD记为 , 或 f(X), 即 f(X)f(x)|xX. fRR注意:1)映射的三要素: 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)对每个 xX,元素 x 的像 y 是唯一的; 但对每个 yR 元素 y 的原像不一定唯一 . 例 1 设 f : RR, 对每个 xR, f(x)x2.f 是一个映射, f 的定义域 Df R,值域 y|y0. f例 2 设 X(x, y)

5、|x2y21,Y(x, 0)|x|1,f : XY,对每个( x, y)X,有唯一确定的( x, 0)Y 与之对应. f 是一个映射, f 的定义域 DfX, 值域 fRY.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间1, 1上.2、满射、单射和双射设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射.（1）若 Y, 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像, 则称 f 为 X 到 YfR上的映射或满射;（2）若对 X 中任意两个不同元素 x1x2, 它们的像 f(x1)f(x2), 则称 f 为X 到 Y 的单射;（3）若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称

6、f 为一一映射(或双射). 从实数集（或其子集）X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 上的函数.3. 逆映射与复合映射逆映射定义：设 f 是 X 到 Y 的单射, 则由定义, 对每个 y , 有唯一的fRxX, 适合 f(x)y, 于是 , 我们可定义一个从 到 X 的新映射 g, 即fRg : X,f对每个 y , 规定 g(y)x, 这 x 满足 f(x)y. 这个映射 g 称为 f 的逆映射, fR记作 f 1, 其定义域为 , 值域为 X . f按定义，只有单射才存在逆映射。例如, 映射 其逆映射为2,(,0yx,yx0,)复合映射定义：设有两个映射 g : XY1, f : Y

7、2Z, 其中 Y1Y2. 则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则, 它将每个 xX 映射成 fg(x)Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和f 构成的复合映射, 记作 f o g,即 f o g: XZ, (f o g)(x)fg(x), xX . 说明：（1）映射 g 和 f 构成复合映射的条件是： g 的值域 R 必须包含在 f 的定义域内，即 R D f .（2）映射的复合是有顺序的, f o g 有意义并不表示 g o f 也有意义. 即使它们都有意义, f o g 与 g o f 也未必相同.例 3 设有映射 g

8、: R1, 1, 对每个 xR, g(x)sin x, 映射，对每个 则映射 g 和 f 构成复映射 f :1,0,f 21,()1ufuo g: R0, 1,对每个 xR,有2()()sin)1sicosfgffxx二、函数1. 函数的定义：设 和 是两个变量， 是一个给定的数集，如果对于给定的xyD每个数 ，变量 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 是D y的函数，记作 ，数集 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量，x)(f x叫做因变量 的取值范围叫函数的值域yy2. 定义域的求法原则：（1）分母不为零（2） 0x，（3） ln,（4） arcsiros,1xx（5）同时含有上述四项

9、时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如 1xxf，称为分段点14. 复合函数若 ，当 的值域落在 的定义域内时xufyuf称 是由中间变量 u 复合成的复合函数5. 反函数设函数的定义域为 ，值域为 对于任意的 ，在 上至少可以fDfVfVyfD确定一个 与 对应，且满足 如果把 看作自变量， 看作因变量，xyxfyyx就可以得到一个新的函数： 我们称这个新的函数 为函数1 yf1的反函数，而把函数 称为直接函数xfyxfy说明：一个函数若有反函数，则有恒等式 fDxf，1相应地有 fVyf，1例如，直接函数 的反函数为Rxxf，34，并且有 ，R

10、yyfx，341 xxf 3431f 1由于习惯上 表示自变量， 表示因变量，于是我们约定 也是直xy xfy1接函数 的反函数fy6. 函数的性质（1）有界性有界定义：若有正数 存在，使函数 在区间 上恒有 ，则称MxfIMxf在区间 上是有界函数；否则， 在区间 上是无界函数xfI上界定义：如果存在常数 （不一定局限于正数） ，使函数 在区间 上xfI恒有 f(x) M，则称 在区间 上有上界，并且任意一个 的数 都是xfI N在区间 上的一个上界；xfI下界定义：如果存在常数 ，使 在区间 上恒有 ，则称mxfImxf在区间 上有下界，并且任意一个 的数 都是 在区间 上的一个xfI l

11、lI下界显然，函数 在区间 上有界的充分必要条件是 在区间 上既有上xfI xfI界又有下界（2）单调性严格单调递增：设函数 在区间 上的任意两点 ，都有xfI21x（或 ） ，则称 在区间 上为严格单调增加21xff21xffxfyI（或严格单调减少）的函数严格单调递增：如果函数 在区间 上的任意两点 ，都有fI21x（或 ） ，则称 在区间 上为广义单调增加（或21xff21xfxfyI广义单调减少）的函数广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数例如，函数 在区间 内是严格单调减少的；在区间 内是2xy0，0严格单调增加的而

12、函数 在区间 内都是严格单调增加的3、 ，（3）奇偶性若函数 在关于原点对称的区间 上满足 （或xf Ixff）则称 为偶函数（或奇函数） ff偶函数的图形是关于 轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的y例如， 在定义区间上都是偶函数而 、xgxfsin2、 xF在定义区间上都是奇函数xGcos（4）周期性对于函数 ，如果存在一个非零常数 ,对一切的 均有xfy Tx，则称函数 为周期函数并把 称为 的周期应当指Txff f出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期7. 初等函数基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这 6 类函数叫做基本初等函数这些函数在中学

13、的数学课程里已经学过（1）幂函数 Raxy它的定义域和值域依 的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂函数在 内总有a,0定义当 或 时，定义NNn，12域为 常见的幂函数的图形如图 1-1 所示R图 1-1（2）指数函数 10ayx，它的定义域为 ，值域为 指数， ，函数的图形如图 1-2 所示（3）对数函数 10logaxya，定义域为 ，值域为 对数函数，0，是指数函数 的反函数其图形见图xyalogxy1-3在工程中，常以无理数 e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函xxeexlnlogp，数（4）三角函数三角函数有正弦函数 、余弦函数 、正

14、切函数 、余xysi xycosxytan切函数 、正割函数 和余割函数 其中正弦、余弦、正xycotec切和余切函数的图形见图 1-4（5）反三角函数图 1-2图 1-3图 1-4反三角函数主要包括反正弦函数 、反余弦函数 、反xyarcsinxyarcos正切函数 和反余切函数 等它们的图形如图 1-5 所示xyarctnot6常量函数为常数 （ 为常数）定义域为 ，函数的图cy，形是一条水平的直线，如图 1-6 所示初等函数 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数非初等函数经常遇到例如符号函数，取整函数 等分段函数就是非初

15、xy等函数在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分图 1-5图 1-6析初等函数的结构是十分重要的作业 P16 第 1 题的（1） 、 （3） 、 （5） 、 （7） 、 （9）小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备1 xsin是否为初等函数？第二节 数列的极限一、数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的引例 我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 ；再作内接正十二边1A形，其面积

16、记为 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 ；循此下去，每次2A3边数加倍，一般地把内接正 边形的面积记为 这样，就得到一126nNn系列内接正多边形的面积： ， nA321它们构成一列有次序的数当 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而n以 作为圆面积的近似值也越精确但是无论 取得如何大，只要 取定了，nA n终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想无限增大（记为，读作 趋于无穷大） ，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时 也无限接近于某一确定的数值，这个确定nA的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列） 当 时的极限在圆面积问题中我们看， nA321 到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明数列的概念 如果按照某一法则，有第一个数 ，第二个数 ，这样依次1x2x序排列着，使得对应着任何一个正整数 有一个确定的数 ，那么，这列有次nn序的数 ， nxx321