1、1基本不等式教学设计方案人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册【教学目标】 1、知识与技能目标（1）掌握基本不等式 ,认识其运算结构； 2ab（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。2、过程与方法目标（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度
2、探索不等式 的2ab证明过程。【教学难点】基本不等式 等号成立条件。2ab【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验【教学过程设计】一、 创设情景，引入新课如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4 个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？ 2赵爽弦图1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 2ab。这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab
3、，正方形的面积为 2ab。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有 2ab。2得到结论：一般的，如果 )“(2R,2 号时 取当 且 仅 当那 么 bababa3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 22)(当 ,()0,0,abab时 当 时所以， 2，即 .2)(2ab4基本不等式1）特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b ，可得 2ab，通常我们把上式写作： (a0,b)2b2）从不等式的性质推导基本不等式 2用分析法证明：3要证 2ab (1)只要证
4、 (2)要证（2） ，只要证 a+b- 0 ab2（3）要证（3） ，只要证 （ - ） 2 （4）显然， （4）是成立的。当且仅当 a=b 时， （4）中的等号成立。3）理解基本不等式 2ab的几何意义如图所示：AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 2ab的几何解释吗？引导学生发现： 2ab表示圆的半经， 表示半弦长CD,得到不等关系： ( 0,ba)易证 t A D t D B，那么 D2 A B即 D ab.这个圆的半径为 2，显然，它大于或等于 CD，即 ab2，其中当且仅
5、当点 C 与圆心重合，即 a b 时，等号成立.几何意义：半弦长不大于半径长。我们称 为正数 的几何平均数，称 为正数 的算术平均数。b, ba,代数意义：几何平均数小于等于算术平均数5.随堂练习已知 a、 b、 c 都是正数，求证：（ a b） （ b c） （ c a） abc分析：对于此类题目，选择定理： 2（ a0， b0）灵活变形，可求得结果。解： a， b， c 都是正数 a b2 0b c2 0c a2 04（ a b） （ b c） （ c a）2 b2 c2 a abc即（ a b） （ b c） （ c a） abc.【课时小结】本节课，我们学习了重要不等式 2； 两正数
6、a、 b 的算术平均数（ 2） ，几何平均数（ ）及它们的关系（ ）.它们成立的条ab件不同，前者只要求 a、 b 都是实数，而后者要求 a、 b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题： , .22)(a思想方法技巧：（1）数形结合思想、 “整体与局部” （2）换元法、分析法（3）配凑等技巧【板书设计】课题: 3.4 基本不等式 （第 1 课时）2ab1.课题导入基本不等式 的2ab几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1问题探究探究图形中的不等关系。2总结结论： 3思考证明：你能给出它的证明吗？3.随堂练习4.课时小结
