线性代数讲义复习题.doc

1、1线性代数复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵 与 的乘积 有意义，则必须满足的条件是 。AB2.设 又 ，问 。(),(),ijmsijsnab()ijmnABcij3.设 与 都是 级方阵，计算 , ,22()AB。()AB4.设矩阵 ,试将 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。1234A（注意：任意 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）n5.设 , , ,计算 。(12)X(,13)TY2013XAY（特别地，若 为字母向量时也应该会表达）,6.设矩阵 与 都有意义，问 与 的关系为 ；又若 与 为ABABAB同级方阵，问 与 的关系为 。7.设 是一个列向量， 是一个数，分析 与

2、 的意义 ，两者是否相等？答： 。kk8.设向量 ，则 ， 。1,23(,1)T9.设矩阵 ，则 。10.设矩阵 ，则 。0A10A20135A1A11.设准对角矩阵 , 是多项式，则 。120()fx()f12.设矩阵 ，则 。13. 设 是矩阵 的伴随矩阵，则3456789A()RA*A*_.14.设 是 阶方阵 的伴随矩阵, ,则 。AndA15.矩阵 的秩为_， 的伴随矩阵 = 。123547 *A216.设 是 3 阶可逆方阵， 是 矩阵且 ，则 。AB34()2RB()A17.设 ， 是 矩阵且 ，则 。102418.试写出 阶方阵 可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。nA19.

3、设矩阵 ，试写出行列式 中 -元的代数余子式 ， 中第三123547A(2,1) A行元素的代数余子式之和= 。20.设 是 矩阵且 ，则 的等价标准形为 。B3()2RB21.设 ，则 的等价标准形为 。22.设 ， ，则 ()mnA 12A2()fx()fA。23.设 ，则 的等价标准形为 。12035A24.设 ，则 。 25. 。1203457A10abcd26.已知矩阵 满足 ，则 。 27.设 阶矩阵 可逆，则 。230AE1nA*28.试写出矩阵秩的定义 。29.试写出 阶行列式按第一列展开的定义 。n30.已知行列式 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其代数余子式分别为 5,

4、-3,-7,-4，则 =_ _。D D31.已知 为同阶方阵,且 可逆,若 ,则 ( 是整数)。CBABAC1m1m32.设 均为 阶方阵，且 ，则 。,nED)(TA33.设 均为 阶方阵，且 ，则 。_T34.若 ， 都是 阶方阵， ， ，则 。AB1A3B1*35.设 , 则 _。36.设 是 阶方阵， ，则 12307491An()2RAn*。37.设 是 阶可逆方阵，则 。38.设 是 阶方阵， ，则 .An(R*)A()1()339.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件 。40.设分块矩阵 ，则 。1234AT41.已知行列式 中第三列元素依次为-1,2,0,1，其余子式分别为 5,

5、-3,-7,-4，则 =_ _。DD二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.设矩阵 满足 ，则 或 。 2.矩阵乘法适合交换律。,AB0A0B3.设 是 级方阵，则 。,n222(),()ABAB4.设 是同级非零方阵，若 ，则 。CC5.设 是方程组 的解，则 是 的解， 是 的解。12,AX12X120X6.设 是线性方程组 的解，则 是 的解。00A7.设 是线性方程组 的解，则 是 的解， 是任意常数。12, 12()kk8.矩阵 可逆，且其逆为其本身。类似有 ， 同样问题。0031209.设非零矩阵 满足 ，则 。,ABCABC10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或

6、两列称比例。 （或必有一行或一列为零）11.若方阵 可逆，则其伴随矩阵 也可逆。 12. 阶方阵 满足 ，则 可逆。*nA20EA13.若 ，则必有 。 14.设 是 阶方阵， 且 ， 则 。20A0a*1a15.设 ，则 或 。 16.设 , 都是 阶方阵,若 , 都可逆,则 可逆。2EABnAB17.若矩阵 的秩为 ，则 中必有某一个 阶子式不等于零。r1r18.若 阶方阵 的秩 ，则其伴随阵 。19.设 是 阶矩阵，则 。n()Rn*0kA20. 设矩阵 满足 ，且 可逆，则 。,BCC三、解答题1.求 ， ， ， 。3251104A213040121242. 已知矩阵 ， ，计算 ,

7、。3142A1320BABT3. 设 3 阶方阵 的伴随矩阵为 ，且 ，求 。A)4(4. 求 。 5.已知 ，求 。abaD0121A6.设 ，求 。232131348AA7.设 。试用矩阵分块方法求 。011,20B,TBA8.用两种方法求下列矩阵的逆.011234,079AB9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积1213310200a10.写出下列矩阵的等价标准形， （对 讨论）21,462373120112kk11.设矩阵 的秩为 2，求 ， 。1536A12.求解线性方程组（1） ；（2） 。12319x123412342571xx513.设 ， 求 。232131348

8、AA14.设 ， ，求 。0112BTB15.设 是 阶方阵,且 ,求 ,其中 是 的伴随矩阵。AnA3*16. 教材中的例题和不带*的习题。第二章 线性方程组一、 填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。2.设 是 阶方阵，且秩 ，则齐次线性方程组 的基础解系中含 个解向量。An()Arn0Ax3.方程组 的基础解系中含 个解向量。123407xx4.设 是 元齐次线性方程组 的基础解系，则秩( )= 。12,()nAxA5.矩阵 的秩为 ，则 的基础解系一定由_个线性无关的解向量构成。mAr0X6.若方程组 有非零解，则 。123100x0 或7.设 是 阶方阵,若线性方程组

9、有非零解,则必有 。AnAXA8.设 是 阶方阵, ,则线性方程组 的基础解系所含向量的个数是 。2nR09. , , 线性相关 ,则 的值为_。1(35)2(13)(,6)aa10.若向量 与 线性相关，则 的取值为 。0,4211.设向量组 ， ， ,则向量组 的秩是 1()2(,1)3(10)123,。12.设向量组 I： 的秩为 ， 向量组 II： 秩为 ， 且向量组 I 能由向量组 II1, rp1, sq线性表出，则 与 的大小关系是_。pq13.设向量组 I: 线性无关，而 都能由 I 线性表出，则秩( )= s12, 112, s。614.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大

10、线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1. 元线性方程组 当 时有无穷多解。n(0)Axb(RAn2.设 是 阶方阵,若方程组 满足 ,则 有唯一解。X)()bAX3.对于线性方程组 (这里 为 n 阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 。x ()Rn4. 维向量组 与 维向量组 秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。ns,21 s,215.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组 线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。12,s7.包含零向量的向量组是线性相关的。 8. 维向量组 必线性相关。312

11、34,9.若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。三、解答题1.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。(1) ；(2) ；(3) 2120431431xx 3235125431xx12436x2.求齐次线性方程组 的基础解系与其通解。03241xx3.已知线性方程组 ，求 ，使得上述方程组有解，并求出所有的解。123415xxk4.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。(1) ；(2) ；(3) 23321x1230xuv132xuv5.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示7(1) ；0,1,2,10TTT(2) ；3,3,1

12、T(3) ， ， ， 。1T253,10T43,12,5T(4) ， ， ， ， ,0,40T455T6.判断下列向量组的等价性(1) 与 。123,0,10,1TTT12,1,0TT7.设矩阵 ，求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无2446397AA关组的列向量用该最大无关组线性表示。8.设 ，求 为何值时， （1） 线性相)0,1(),2,(),1,( 321 aaa 32,关？（2） 线性无关？39. 教材中的例题和不带*的习题。第三章 相似矩阵与二次型一、 填空题1. 阶方阵 的特征值为 ，则 _。3A3,12A2.若 是可逆方阵 的一个特征值，则 必有一个特征值为 。

13、13.设 是分别属于方阵 的不同特征值 的特征向量，则 必线性 。12,12,12,4.实对称矩阵 的两个特征值为_。ALNMOQP035.设实数 是实矩阵 的某个特征值，则可知矩阵 的某个特征值 。32BAE_6.若已知 阶方阵 的行列式 ， 是矩阵 的一个特征值，则其伴随矩阵 必有一个特征n2*A值为 。_7.若 阶方阵 与 相似，且 ，则 。AB8.设向量 与向量 相互正交， 则 = 。(1,5)Tk(2,3)Tkk89.向量 与 正交，则 _。(1,23)T(1,2)Tb10.已知 阶矩阵 的特征值为 ，则矩阵 的特征值为_。A32BA11.设对称矩阵 ，则与 对应的二次型为 。1_1

14、2.设 是 阶矩阵 的 个特征值， 则 。12,n AnA13.若 与 相似，则 ， 。3yx4xy14.已知 。则内积 。)1,02(),10,( ),3(15.与 阶单位矩阵 相似的矩阵是 。nE16.设 ,若 与 正交,则 应满足的关系为 。,4,2baba,17.设 是幂零矩阵,即存在正整数 ，使得 ，则 的特征值为 。Ak0kA18.设 为 阶方阵，且 ，则 的特征值只能是 。nOE652 _19.设向量 和 都是矩阵 对应特征值 的特征向量，且向量 ，012 221则向量 。20.设 为 阶正交阵，则 必可逆，且 。AAnA_121.已知 是 的一个特征值，则 。2 _|6|2E2

15、2.二次型 的秩为 。2564fxyzxyz23.设实对称矩阵 是二次型 的矩阵，则二次型A103a123(,)fx123(,)fx(写成 的多项式)。123,924.已知矩阵 为正交矩阵，则矩阵元素 分别为 _ 。123103aAb,ab25.二次型 的秩为 _。2121123(,)4fxxx26.二次型 的矩阵 。323123x_27.设对称矩阵 ，则与 对应的二次型为 。1AA_28.设 为 阶正交阵，则 必可逆，且 。n129.设向量 分别为实对称阵 的两个不同特征值 所对应的特征向量，则 =_。,A21,),(二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.相似矩阵的行列式相等。

16、 2.可逆矩阵的特征值一定不为零。3.若 是 阶矩阵 的特征值，则 是 的特征值。n24.设 为正交阵，则矩阵 的实特征值 满足等式： 。AA215.设 为 阶方阵，则 与 有相同的特征值。 6. 设矩阵 相似于矩阵 , 则 与 也必相似。TAB2A7.设 , 都是 阶方阵,若 与 相似,则 与 有相同的特征值。BnB8.设 , 都是 阶方阵,若 , 有相同的特征值,则 与 相似。AA9.若 是正交方阵,则 也是正交阵，且 或 。1T110.设 , 都是 阶正交方阵,则 也是 阶正交方阵。n11.设 是矩阵 的两个不同的特征值, 是对应的特征向量,则 也是 的特征向量。212121A13.设

17、, , 都是 阶方阵,若 与 相似, 与 相似,则 与 相似。ABCnABC15.方阵 满足 ，则 或 。16.设 , 是 阶方阵,若 , 可逆,则 可2E0ABnB逆。17.若矩阵 的秩为 ，则 中必有某一个 阶子式不等于零。r1r1018.设 为 阶方阵，则 与 有相同的特征多项式。19.矩阵 是正交矩阵。AnTA123132A三、解答题1.设 ， （1）求 的特征值和特征向量；（2）试求可逆矩阵 ，使 为对角20AAP1A阵。 2.设 （1） 是否能对角化？说明理由。若能，求可逆矩阵 ，使 为对角阵。304 13.求下列矩阵的特征值、特征向量：； ； ； 。21043104823152014.三阶方阵 的特征值为 ， 对应特征向量分别为 , 求 。A10, 1230,18A5.已知 阶方阵 的特征值为 ,试求 。332EA6.设 (1) 求 的特征值和特征向量；203A(2) 是否可对角化？若可对角化，试求矩阵 ，使得 成为对角形。PA17.已知 是矩阵 的一个特征向量，试确定参数 及特征向量 所对12135baAba,应的特征值。8.设 ,将该向量组规范正交化。123,4,10TTT9*.已知实二次型 。1312()fxxx（1）写出该二次型的矩阵； （2）试求非退化线性替换化 为标准形。f