高中数学平面向量专题复习含例题练习.doc

1、1平面向量专题复习一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；AB|AB4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ，abab规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线

2、平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa例 1：（1）若 ，则 。 （2 ）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3 ）ab若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是平行四边形，则 。 （5 ）若 ，D ABCDABDC,abc则 。 （6）若 ，则 。其中正确的是_ac/,c/a2、向量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文

3、字母来表示，如 ， ， 等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，xyij则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， 叫做向量a,xiyj,a,xy的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。a三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如例 2（1）若 ，则 _(,1)b(,)(,)cc（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 120,e12,(5,7)eC. D. (35)(6) 1

4、3()4（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示,ADBEACB,ADaBEbC,ab为_（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是_ 2 srCsr四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：aa当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时， 的方向与 的方向相1,2a a2反，当 0 时， ，注意： 0。0aa五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，b,OAaBbAO称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向，当 时， ， 反向，当 时，bab2， 垂直。ab2平面向量的数量积：如果两个非零向量 ，

5、 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做ab|cos与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即 。规定：零向量与任一向量的数cosa量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosb4 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积。a|b5向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；0当 ， 同向时， ，特别地， ；当 与 反向时，abb222,aaab ；当 为锐角时， 0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件；a b、 0当 为钝角时， 0，且 不反向， 是 为钝角的必要非充分条件； 、 非零向量

6、 ， 夹角 的计算公式： ； 。abcosa|ab例 3 如（1）ABC 中， ， ， ，则 _3| AB4| C5| BBCA（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_1(,)(0,),2abcakbdcd4k（3）已知 ，则 等于_5（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_, 与ab例 4 已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_|a|b12a例 5（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是_)2,(),3(b（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的取值范围是 。OFQS FQO231S FQO,六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则

7、”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即,ABaCbACab；abABC向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由减向量的,B那 么终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。2坐标运算：设 ，则：12(,)(,)axyb向量的加减法运算： ， 。1x1y3实数与向量的积： 。11,axyy若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线12(,)(,)AxyB21A段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积： 。如1b已知向量 （sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）

8、。 （1）若 x ，求向量 、a c3a的夹角；（2）若 x ，函数 的最大值为 ，求 的值c483baxf)(2向量的模： 。222|,|xyay两点间的距离：若 ，则 。1,AB2211|ABxy例 6： _； _； _ABCDDC()()CDAB例 7（1）已知点 ， ，若 ，则当 _时，点 P 在第一、(2,3)5,4(7,0)PR三象限的角平分线上（2）已知 ， ，则 1,sin,co)ABxy且 ,(,)2xy例 8 设 ，且 ， ，则 C、D 的坐标分别是_(,3)15AB3C3例 9 已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 _ab60|ab七向量的运算律：1交换律： ， ，

9、；abaab2结合律： ， ；,cccabab3分配律： ， 。 c例 10 下列命题中： ； ； aba)( )(2()|； 若 ，则 或 ；若 则 ； ；22|ab00b,abac2a； ； 。其中正确的是_2()22()提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，cba)()为什么？八向量平行(共线)的充要条件： 0。/ab22()(|)ab12xy例 11(1)若向量

10、，当 _时 与 共线且方向相同(,1)(4,)axx（2）已知 ， ， ，且 ，则 x _b2uv/uv（3）设 ，则 k _时，A,B,C 共线,2,5(10,)PAkBPC4九向量垂直的充要条件： .特别地0|abab120xy。()()ABCAB例 11(1)已知 ，若 ，则 1,2(3,OmOABm（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ，则点 B 的坐标是_ 90（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_ (,)nabn十向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|abab ab、 0

11、|ab；当 反向或有 ；当 不共线| 、 0| 、(这些和实数比较类似).|（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。123123,xyG 为 的重心，特别地 为 的重()PPGA0PABCPABC心； 为 的垂心；ABCBC向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；()(0| （4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 且 P、 、 A、 、 、 PABC.1例 12 若ABC 的三边的中点分别为（ 2，1） 、 （-3，4） 、 （ -1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_例 13 平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足 ,O)13(A

12、B O BA21其中 且 ,则点 的轨迹是_R21,121C5A DBCP高考真题选讲一、选择题1 设 xR ,向量 (,1)(,2)axb且 ab,则 |（ ）A 5B 0C 5D 103 在 A中, 90, AB,设点 ,PQ满足,(1),PQR.若 2QP,则 （ ）A 3B 23C 43D24 设 a、 b都是非零向量,下列四个条件中,使 |ab成立的充分条件是 （ ）A |且 /B abC / D 2ab5 已知向量 a = (1,1),b = (2,x).若 a b = 1,则 x = （ ）A1 B 12C 12D16 对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 ,若平面向量 a、 b

13、满足 0,a与 b的夹角 0,4,且 ab和 都在集合 2nZ中,则 b（ ）A 12B1 C 3D 527 若向量 , 3,4C,则 A（ ）A 4,6B ,6 C , D ,9 中, 边的高为 D,若 a, b, 0,|1a,|2b,则 AD（ ）A 13abB 23bC 35D 45二、填空题10在ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB=_.12已知向量 a,b夹角为 045,且| a|=1,|2b|= 10,则| b|=_.14如图,在平行四边形 ABCD 中 ,APBD,垂足为 P, 3P且 AC= .615已知向量 (1,0)(,ab,则()与 2同向的单

14、位向量的坐标表示为 _;()向量 3与向量夹角的余弦值为_.16已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DECB的值为_.17设向量 (1,2)(1,)(2)ambcm,若 ()ac b,则 a_.巩固练习例 1 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： ， ACBDOACB例 2 设非零向量 、 不共线， =k + ， = +k (kR)，若 ，试求 k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabcabdcd例 3 已知向量 ， ，且 ，求实数 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1,2)(,)2abxuabva/uv7

15、例 4 已知点 ,试用向量方法求直线 和 （ 为坐标原点）交点 的坐)62(,4)0,(CBAACOBP标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 5 已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab012,3cabdacd例 6 已知 ， ， ，按下列条件求实数 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4,3a1,2b,mab2n（1） ；（2） ；mn/n(3)例 7 已知 ， ，且 与 夹角为 120求4|a2|bab ； ； 与 的夹角。)(|ab8例 8 已知向量 = ， = 。a)2,1(b),3(求 与 ； 当 为何值时，向量 与 垂直？|kbak3 当 为何值时，向量 与 平行？并确定此时它们是同向还是反向？kab例 9 已知 = ， = ， = ，设 是直线 上一点， 是坐标原点OP)1,2(A)7,(OB)1,5(MOP求使 取最小值时的 ； 对（1）中的点 ，求 的余弦值。MB AB例 10 在 中， 为中线 上的一个动点，若ABCOAM2AM求： 的最小值。)(