二次函数知识点总结与典型例题.doc

1、二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2 acbaxy是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。,2cbax是 常 数 ，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程cxy2有实根 和 存在时，根据二次三

2、项式的分解因式02cbxa12，二次函数 可转化为两根式)(xacbxay2。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xy三、抛物线 中， 的作用cba,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.a2xya（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线b cbxy2，故： 时，对称轴为 轴所在直线； （即 、 同号）ax0b 0a时，对称轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.yaby（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccx2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcycbxay2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正

3、半轴； ,与 轴交于负半轴.c0ccy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右ab2增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，ab2y 有最小值， c4最 小 值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 xab2的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，ab2y 有最大值， c4最 大 值五、二次函数与

4、一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。因此一元二次方程中的 ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。ac4b2当 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，图像与 x 轴没有交点。补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减六、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时， 。abx2abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围21xab2内，若在此范围内，则当 x= 时， ；21xabcy4最 值若不在此范围内，则需要

5、考虑函数在 范围内的增减性，21x如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时， ，当cbxay2最 大时， ；1xcba12最 小如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当1xcxy12最 大时， 。2xc2最 小典型例题1. 已知函数 ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（ 2135xy）A0 B1 C2 D32. 如图为抛物线 的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且yaxbcOA=OC=1，则下列关系中正确的是 （ ） Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 3. 二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数2yaxbca

6、yx在同一坐标系中的大致图象是（ ）.ybxc4. 如图，已知二次函数 的图象经过点（1，0） ， （1，2） ，当 随 的增cbxy2 yx大而增大时， 的取值范围是 xxyO1（1,-2）cb2-15. 在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着它与 y 轴的交点旋转 180，所得抛23yx物线的解析式是（ ） A B 2(1)yx2(1)4C D yx6. 已知二次函数 的图像如图，其对称轴 ，给出下列结果cbxay2 1x ，则正确的结论是（ acb420b02ba0c0cba）A B C D 7抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：2yaxbcxyx 2 1 0 1 2 y 0

7、 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与 轴的一个交点为（ 3,0） ； 函数 的最大值为 6；x 2yaxbc抛物线的对称轴是 ； 在对称轴左侧， 随 增大而增大128. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（2，4） ，过点 A 作ABy 轴，垂足为 B，连结 OA(1)求OAB 的面积；(2)若抛物线 经过点 A2yxc求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括OAB 的边界） ，求 m 的取值范围（直接写出答案即可） 9已知二次函数 y= x 2+ x 的图像如图14 32（1）求它

8、的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 、C 三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作D，试判断直线 CM 与 D 的位置关系，并说明理由10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB 在 x 轴上，AB10，以 AB 为直径的O与 y 轴正半轴交于点 C，连接 BC，AC.CD 是 O的切线，ADCD 于点 D，tanCAD ，抛物21线 过 A，B，C 三点.cbxay2（1）求证：CAD CAB；（2） 求抛物线的解析式

9、；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点 P的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由.11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD，BAD = 90，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A 、B、D 三点的坐标分别是 A（-1，0） ，B( -1，2)， D( 3， 0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点 P使得 PA=

10、 PC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点，当点Q 在什么位置时有 最大？并求出最大值。CAB CDOEN Mxy图12如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一11，0）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0) 是 x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m 的值13.在平面直角坐标系中，如图 1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC，相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点 B、C.（1）当 n1 时，如果 a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图 2，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段 CB 上，如果 M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点 B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O，试求出当 n=3 时 a 的值；直接写出 a 关于 n 的关系式. NMF EyxC BAO图 1 图 2 图 3yxCBAO CD = 1.15厘厘 yxC BAO