高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用.docx

1、细节决定成功1高考：均值不等式专题知识梳理1常见基本不等式， 2,0aRa22()ba2bcabc若 ab0,m0,则 ；m若 a,b 同号且 ab 则 。1ab;Rba2,2则 .2,2abR2均值不等式:两个正数的均值不等式： 变形 ，,等。ab2ab22bab23最值定理:设 ,0xyxy由（1）如果 x,y 是正数,且积 ,则 时,(P是 定 值 ） 2xyP和 有 最 小 值（2）如果 x,y 是正数和 ,则 时,xyS是 定 值 ） S积 有 最 大 值 （ ）4利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、

2、三“ 等”； 熟悉一个重要的不等式链： 。ba122ab2课前热身1. 已知 ，且 ，则 的最大值为 .,xyR41xyxy细节决定成功22. 2. 若 ,则 的最小值为 0,xy1x4xy3. 已知： ，且 ，则 的最小值是 . 24. 4. 已知下列四个结论当 ； ；2lg1,0xx时且 10,2xx当 时 的最小值为 2；当 无最大值.,2时当 ,时则其中正确的个数为 考点剖析一、基础题型。1.直接利用均值不等式求解最值。例 1：（2010 年高考山东文科卷第 14 题）已知 ，且满足 ，则 xy 的最大值为 ,xyR134xy。2 通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。例 2：（2

3、010 年高考四川文科卷第 11 题）设 ，则 的最小值是（ ）0ab 21ab（A）1 （B）2 （C）3 （D）4例 3：已知 0x ，则 y2x 5x 2 的最大值为_25例 4： 已知 ，且 ，求 的最大值 （类似例 5）， 30yxy二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。细节决定成功3例 5：（2010 年高考重庆卷第 7 题）已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. D. 92122.分式型函数（ ）求解最值。二 次 一 次 二 次、 、一 次 二 次 二 次例 6：（2010 年高考江苏卷第 14 题）将边长为 1

4、 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S= ,则 S 的最小值是_。则2(例 7：（2010 年高考全国卷第 11 题）已知圆 O 的半径为 1，PA 、 PB 为该圆的两条切线，A 、 B 为两切点，那么 PAB的最小值为（ ）(A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 32三、解决恒成立问题例 8：若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是 _xx2 3x 1变式训练：已知 x0，y 0，xyx 2y，若 xym2 恒成立，则实数 m 的最大值是_课后强化一、选择题。1已知 ab0，a，bR，则下列式子总能成立的是 ( )A. 2 B. 2ba

5、 ab ba abC. 2 D. 2ba ab |ba ab|细节决定成功422011重庆卷 若函数 f(x)x (x2)在 xa 处取最小值，则 a( )1x 2A1 B 1 C3 D42 33对一切正数 m，不等式 n0， b0，A 为 a，b 的等差中项，正数 G 为 a，b 的等比中项，则 ab 与 AG的大小关系是( )AabAG BabAGCabAG D不能确定6设 a、b、c 都是正数，那么 a 、b 、c 三个数( )1b 1c 1aA都不大于 2 B都不小于 2C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 27若 x、y、z 均为正实数，则 的最大值是( )xy yzx2 y2

6、 z2A. B. C2 D222 2 2 38已知 f(x)x 2( xb1，P ，Q (lgalgb) ，R lg ，则 P，Q，R 的大小关系为_lgalgb12 (a b2 )2.（2010 年高考山东卷第 14 题）若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是 0x231xa。3.（2010 年高考重庆文科卷第 12 题）已知 ,则函数 的最小值为 to2t41y4.（2010 年高考浙江文科卷第 15 题）若正实数 x， y 满足 ，则 xy 的最小值是 6xy。 （变式：求 2x+y 的最小值为 _）5下列函数中，y 的最小值为 4 的是_( 写出所有符合条件的序号 )yx (x0)；y

7、 ；ye x4e x ；ysinx .4x 2x2 3x2 2 4sinx6设 x，y，z 为正实数，满足 x2y3z0，则 的最小值是_y2xz7设 a0，b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k 的最小值等于_1a 1b ka b3、解答题。1(13 分) 若 x，y R，且满足(x 2y 22)(x 2y 21) 180.(1)求 x2y 2 的取值范围；(2)求证：xy2.细节决定成功62(12 分) 如图 K371，公园有一块边长为 2 的等边ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上(1)设 ADx( x0)，EDy，求用

8、 x 表示 y 的函数关系式；(2)如果 DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果 DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明5在三角形 ABC 中，角 A、B 、C 对边为 a、b、c ，且 ，53osC2062ab）（1）求 C；（2）当三角形 ABC 面积最大时，求 sin A 。细节决定成功7答案课前热身（略）考点剖析例 1.解：因为 x0，y0，所以 (当且仅当 ，即 x=6，y=8 时取等号)，于是2343xyxyA34xy， ，故 xy 的最大值位 3.13xy3.例 2.解： w21ab21()abab 2241()()aa细节

9、决定成功8当且仅当 ab1，a(ab)1 时等号成立，如取 a ,b 满足条件。2故选择答案 D例 3. 1/5 例 4.18 例 5.解： 因为 x0，y 0，所以 ，28)2(yxyxyx整理得 03242即 ，又 ，8yxyx42yx等号当且仅当 时成立，故选择答案 B。2例 6.解：设剪成的小正三角形的边长为 ，则x22(3)4(3)11xS令 ，则2()0)fxx226910()xxf令 ，则35,(2)txt221081856()()03ttt因为 ，所以 ，等号当且仅当 t=4，即 时成立。t68tt13x所以 最小值为 816t故 的最小值为 8，S 的最小值是 。29()1x

10、f32例 7.解：如图所示：设 PA=PB= x(0),P A B O 例 5 图细节决定成功9APO=，则APB= 2， PO=21x，21sinx，|cosPABP=22(1sin)x=2(1)x=42x，令 y，则42x，令 ，2,0txt则22(1)33tttt等号当且仅当 ，即 时成立。t2t故 min()3PAB.此时 1x.，选择答案 D。例 8. 变式：1051a课后强化一、选择题。1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C二、填空。1.PQR 2. 3.-2 4.18 5. 6.351a三、解答题。1.解答 (1)由(x 2y 2)2( x2 y2)200

11、，得(x 2 y25)(x 2y 24)0，细节决定成功10因为 x2y 250，所以有 0x 2y 24，故 x2y 2 的取值范围为0,4(2)证明：由(1)知 x2y 24，由基本不等式得 xy 2，所以 xy2.x2 y22 422解答 (1)在ADE 中，y 2x 2AE 22xAEcos60y 2x 2AE 2xAE.又 SADE S ABC xAEsin60xAE2.12 32 12将代入得 y2x 2 2 2(y0) ，(2x)y (1x 2)x2 4x2 2(2)如果 DE 是水管 y ，x2 4x2 2 22 2 2当且仅当 x2 ，即 x 时“”成立，故 DEBC ，且 DE .4x2 2 2如果 DE 是参观线路，记 f(x)x 2 ，可知4x2函数 f(x)在1， 上单调递减，在 ，2 上单调递增，2 2故 f(x)maxf(1) f(2) 5，y max .5 2 3即 DE 为 AB 边中线或 AC 边中线时，DE 最长