1、不等关系与不等式【知识梳理】1不等式的概念我们用数学符号“” 、 “” 、 “” 、 “” 、 “”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式2比较两个实数 a、b 大小的依据文字语言 符号表示如果 ab，那么 ab 是正数；如果 ab，那么 ab 是负数；如果 ab，那么 ab 等于 0，反之亦然 abab0abbb，bc ac ；(3)可加性：abac bc.推论(同向可加性)：Error! ac bd；(4)可乘性：Error!acbc；Error!ac bd；(5)正数乘方性：a b0a nbn(nN *，n1)；(6)正数开方性：a b0 (nN *，
2、n2)nanb【常考题型】题型一、用不等式（组）表示不等关系【例 1】 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车，有 9名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不等式解 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆由题意得Error!即Error!【类题通法】用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出体现不等关系的关键词：“至少” “至多” “不少于 ”“不多于” “超过” “不超过”等用代数式表示
3、相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“” “”中的“”能否取到【对点训练】1用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)限速 80 km/h 的路标；(2)桥头上限重 10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h，则 v80.(2)设汽车的重量为 吨，则 10.(3)Error!题型二、比较两数（式）的大小【例 2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x23 与 2x；(2)已知 a，b 为正数，且 ab，比较 a3b 3 与 a2bab 2 的大小解 (1)(x 2
4、3)2x x 22x3 2220，(x 1)x2 3 2x.(2)(a3 b3)(a 2bab 2)a 3b 3a 2bab 2a 2(ab) b 2(ab)(ab)(a 2b 2)(ab) 2(ab)，a 0，b0，且 ab，(ab) 20，a b0.(a3b 3)(a 2bab 2)0，即 a3b 3a 2bab 2.【类题通法】比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数( 或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程：作差变形判断符号结论，其中变形是判断符号的前
5、提【对点训练】2比较 x36x 与 x26 的大小解：(x 36x) (x26)x 3x 26x 6x 2(x1) 6(x 1)(x1)(x 26)x2 6 0.当 x 1 时，(x 1)( x26)0，即 x36xx 2 6.当 x1 时，(x1)(x 26)0 ，即 x36xx 2 6.当 x1 时，(x1)(x 26)0 ，即 x36xx 2 6.题型三、不等式的性质【例 3】 已知 ab0，c d0，e 0，求证： .ea c eb d证明 cd0， c d0，又 ab0，a (c) b(d)0，即 acbd0，0 ，1a c 1b d又 e0 ， .ea c eb d【类题通法】利用
6、不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【对点训练】3已知 ab，mn，p0，求证： napm bp.证明：ab，又 p0，apbp. apbp，又 mn，即 nm.n apmbp.【练习反馈】1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人 500 无，请瓦工共需付工资每人 400 元，现有工人工资预算 20 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，则工
7、人满足的关系式是( )A5x4y200 B5x 4y200C5x 4y200 D5x4y200解析：选 D 据题意知，500 x400y20 000，即 5x4y200，故选 D.2若 x2 且 y1，则 Mx 2y 24x2y 的值与5 的大小关系是( )AM5 BM5CM5 DM 5解析：选 A M(5) x 2 y24x2y5(x2) 2(y 1)2，x 2 ，y1，(x2) 20，(y 1) 20，因此(x2) 2( y1) 20.故 M5.3如果 ab，那么 c2a 与 c2b 中较大的是_解析：c2a( c2b)2b2a2( ba)0.答案：c2b4若10ab8，则|a| b 的取值范围是_解析：10a8，0 |a|10，又10b8， 10|a|b18.答案：(10,18)5(1)已知 x1，比较 3x3 与 3x2x 1 的大小；(2)若1ab0，试比较 ，a 2，b 2 的大小1a1b解：(1)3x 3(3x 2x1)(3 x33x 2)(x1)3x 2(x1)(x1)( x1)(3x 21) x 1， x1 0.又 3x210，(x1)(3x 21)0，3x33 x2x1.(2)1 ab0， ab0，a2 b20.a b0，a b 0，1ab 1ab即 0 ，1a 1ba2 b2 .1a 1b
