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高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案.doc

1、空间向量与立体几何经典题型与答案1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知四棱锥 的底面为直角梯形, , 底面 ,且PABCD/ABDCPA,90BCD, , 是 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12AMP()证明:面 面 ;()求 与 所成的角;PB()求面 与面 所成二面角的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C证明:以 为坐标原点 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为AD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (0,)(,20)(1,)(,0)(,)(0,)PM()证明:因 ., DCAPDCAP所

2、以故由题设知 ,且 与 是平面 内的两条相交直线,由此得 面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 在面AC PADC上,故面 面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j PDD()解:因 ),0(),(B.51|,cos|2|PAC所 以故()解:在 上取一点 ,则存在 使M(,)Nxyz,R,MCN.211201),1,( zyzyxNC要使 40,5ACxzA只 需 即 解 得 0),521(),521(, .,4MCBNBNA有此 时 能 使点 坐 标 为时可 知 当 为ANBMCAN 所 以得由 .,0,0所求二面角的平面角 头htp:/w.xjkygcom

3、126t:/.j 304|,|,.552cos(,).3|arcos().ANBANB故 所 求 的 二 面 角 为2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图,在四棱锥 中,底面 是正方形,侧面 是正三角形,VABCDABVAD平面 底面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ()证明: 平面 ;()求面 与面 所成的二面角的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明:以 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D()证明:不防设作 ,(1,0)A则 , , (1,0)B23,V),01(),(A由 得

4、 ,又 ,因而 与平面 内两条相交直线 , 都垂直 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,VBVABDABVDVAD 平面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D()解:设 为 中点,则 ,E)43,01(E).2,(),43(),0,43( DVBA由 .,EADVE 又得因此, 是所求二面角的平面角,,721|),cos(BA解得所求二面角的大小为 .arcos3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图,在四棱锥 中,底面 为矩形,侧棱PABCDABD CBAV底面 , , , , 为 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j P

5、ABCD3A1BC2PAEPD()求直线 与 所成角的余弦值;P()在侧面 内找一点 ,使 面 ,N并求出点 到 和 的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解:()建立如图所示的空间直角坐标系,则 的坐标为 、,ABCDPE(0,)A、 、 、(3,0)(3,1),、 ,2从而 ).2,0(),(PBAC设 的夹角为 ,则与 ,14732|cosPBA 与 所成角的余弦值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C()由于 点在侧面 内,故可设 点坐标为 ,则NN(,0)xz,由 面 可得,)1,2(zxEEPAC .0213,.0),13(,(2.0, xzz

6、xACNP化 简 得即 163zx即 点的坐标为 ,从而 点到 和 的距离分别为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ),63NABP3,4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所CD1ECF截面而得到的,其中 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 14,2,3,ABB()求 的长; ( )求点 到平面 的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j FA解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,(0,)D(,40)B设 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1(2,0)(,4)(2,

7、)(0,43)ACEC(,0)Fz 为平行四边形,1F.62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzzA(II)设 为平面 的法向量,1n1AEC)1,(,1yxnD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 02240,1 yxAFn得由 .41,024xy即的夹角为 ,则11),3(nC与设又 .346|cos1 到平面 的距离为C1AEF.1343cos|1d5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图,在长方体 ,中, ,点 在棱 上移动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明:1ABCD1,2

8、ADBEAD;1DE(2)当 为 的中点时,求点 到面 的距离;E1C(3) 等于何值时,二面角 的大小为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A1D4解:以 为坐标原点,直线 分别为 轴,建立空间直角坐标系,设 ,则D,A,zAEx11(,0)(,)(,0)(1,)(0,2)ADExAC(1) ., 1EDA所 以因 为(2)因为 为 的中点,则 ,从而 ,B(10) )0,21(),(1C,设平面 的法向量为 ,则)1,0(1AD1ACD,cban,1An也即 ,得 ,从而 ,所以点 到平面 的距离为2cabcab2)2,1(ED.31|1nEh(3)设平面 的法向量 ,1D

9、C),(cban ),10(),120(),2,1(1CxCE由 令 , .0)2(,0xEn ,cax ).21(x依题意 .25)(2|4cos 21 xDn (不合,舍去), 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 321x 3 时,二面角 的大小为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j AE1EC46 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图,在三棱柱 中, 侧面 , 为棱 上异于 的一点,1ABAB1CE11,C,已知 ,求:1EAB112,3C()异面直线 与 的距离;E()二面角 的平面角的正切值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.

10、j 1A解:(I)以 为原点, 、 分别为 轴建立空间直角坐标系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BB,z由于, 112,3C在三棱柱 中有A,1(0,)(,2),(0)BAB)0,23(),021,3(C设 即得由 ,),3( 11EAEa)0,23(),2(0a,443a .,043)023()0,213( ),21(),(,) 11 EBEBa 即故舍 去或即得又 侧面 ,故 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因此 是异面直线 的公垂线,A1CABE,A则 ,故异面直线 的距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 43|1,(II)由已知

11、有 故二面角 的平面角 的大小为向量 的,11EBAE1AEBEAB与1夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j .2tan,32|cos ),2,(),0,(11即故因 ABE7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图,在四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 , 是 上PABCDABPDABCE一点, 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知FE,21,2E求()异面直线 与 的距离;()二面角 的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解:()以 为原点, 、 、 分别为DACDP轴建立空间直角坐标系 头htp:/w.xjkygcom

12、126t:/.j ,xyz由已知可得 (0,)(,),(0,)P设 ),02(),(0,xBxA则由 ,).,3(1)21( CEPE 0CEPE得即 由 ,.23,043xx故 DD 得),23(0,12又 ,故 是异面直线 与 的公垂线,易得 ,故异面直线PDEPE1|E, 的距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C()作 ,可设 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由 得G(0,)z0CDG0)2,(),zy即 作 于 ,设 ,,yz故 可 取 EFPFmn则 31(,).2EFmn由 ,0(,)(02,),210PC n得 即又由 在 上得F 32,1,(,).nmnEF故因 故 的平面角 的大小为向量 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,EPCDGEPCDDG与故 即二面角 的大小为2cos,4|FPC.4

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