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精选优质文档-倾情为你奉上第五讲 实数的完备性I 基本概念与主要结果一 实数空间 1 无理数的定义人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后由于开方与不可公度问题 毕达哥拉斯（公元前约580约500）：古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收300门徒组织了一个“联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义在西方首次提出勾股定理，并把数的概念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序”，这里的数指的是自然然及自然数之比，即“有理数”，而且这种思想一直占统治地位，然而勾股定理的提出，导致这种理想的破灭，即以1为直角边的等腰直角三角形的斜边长是多少？这一问题后来称之为“不可公度”问题，引起整个世界（哲学界和数学界）的恐慌，称之为第一次数学危机，此问题直到十九世纪末才被解决发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定义事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分为了让实数与数轴上的点一一对应起来，充满全数轴，必须用别的方法方法之一是用无限小
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