模型Ⅰ - 同济大学 数学科学学院.doc

1、城市交通发展的优化模型与政策研究（张媛 吕慧洁 谢莉娟 同济大学数学系理科班）摘要：本文就公交财政补贴、限制私家车发展、公交轨交分担率三个城市交通发展的优化问题建立了数学模型，在补贴、扩路、收费、征税等政策背景和博弈理论、成本理论等经济学背景下，以上海市道路交通的相关数据为基础，根据相关模型刻画了现有上海市交通状况的数学关系和政策目标的量化实现条件，并据此给出了具体的实施方案和政策建议。 关键词：公共交通；补贴；边际成本；分担率；Abstract: this paper discuss the optimized mathematical models focusing on the prob

2、lems of public transportation subsidies, private cars restrictions as well as the share rate between bus and track. According to the actual data of the city Shanghai in recent years, we consider several policies including subsidies, road expanding, charging and taxation in the background of game the

3、ory and cost theory, and give the concrete quantitative relations of transportation in Shanghai. From the quantitative conditions of policy aims expressed, recommendations are listed for efficient policy making. Keyword: public transportation, subsidies, marginal cost, share rate1. 背景交通出行需求的激增伴随着汽车业

4、的蓬勃发展，使得北京、上海、广州等特大城市的交通系统开始面临前所未有的挑战。 “优先发展公共交通系统” “限制私家车发展” “新增道路建设”等理念成为这些大都市应对交通压力的共同选择，在此背景下， “公交补贴” 、 “免费公交” 、 “单双号” 、 “摇号” “修路”等措施应运而生，然而由于缺乏全面、量化的考虑，许多具体政策在实施过程中带来了负面的社会效应，造成社会资源的浪费甚至干扰了正常的交通运行秩序；还有一些需要财政的大规模投入，给财政带来巨大压力的同时难以保证政策的持久性实施。因此如何统筹城市交通发展，改善道路通行状况，满足日益增长的出行需求并提高出行质量，迫切需要就财政补贴与公交效率、

5、道路新建与私家车发展、轨道交通与地面交通的分担等问题给出模型的刻画与量化的讨论，为制定实施科学可行的政策法案提供有力支持。2. 问题与假设2.1 问题重述考虑一个城市的公共交通系统，政府可以通过财政补贴的方式降低公共交通系统的使用费用来缓解城市的交通压力，但如果完全放弃收费可能会导致公共交通系统的崩溃，如广州亚运会前发生的情况。选择以上海市的交通运营发展情况为例，根据相关实际数据，刻画上述关系，并给出分析建议报告2.2 问题假设我们将此问题的讨论拆分成 3 个分析决策层面，以此出发分别给出假设，并在该假设的基础上讨论相关数量关系并给出改进方案。2.2.1 孤立整体公交系统层面在此层面上公共交通

6、系统（包括地铁、公交等）做为一个整体考虑，并且孤立于其他交通选择方式。即作此假设：选择公共交通的人群固定，每月有最低出行次数，且其不会选择其他出行方式代替公共交通满足其出行意愿；公交系统的票价并不受到其他其他竞争方式的干扰。从而得到了一个满足孤立系统中经济学理论讨论前提条件的系统。2.2.2 公共交通资源开放层面在此层面上,假设交通系统中由公共交通系统和小轿车两部分构成，而不存在其他因素，公共交通系统作为一个整体（包括轨交和地面公交）和小轿车在共享新增基础设施建设资源上的同时存在着对新增资源的争夺。假设人们在上述出行选择考虑上仅秉承价值规律选择（包括量化的时间成本等因素） ，而忽略了人们主观意

7、愿的随机性。2.2.3 轨交与公交二元层面在此层面上的讨论都是基于上述求得的整体最优状况，即固定补贴额度和客运总量讨论轨交和公交的分担比。假设在两者相互影响的讨论中,不存在小轿车、路面占有率等第三方对其的影响，且其最优分担率的讨论和实现仅与人们的基于一个固定数量规律所作出的选择意愿有关，而忽略个体主观意愿的随机性。2.3 模型符号说明 居民出行效用函数 Z每月乘坐公共交通出行次数 每月乘坐公共交通出行次数上限max M居民每月总支出 J居民每月支出中除乘坐公共交通外的费用 每人次的公共交通成本0P 每人次的公共交通政府补贴 公交资源效用最大时地面公交，小汽车的个人边际成本,BCX 公交资源效用

8、最大时地面公交，小汽车的社会边际成本,Y 实际小汽车的个人边际成本1C 小汽车的平均每月成本中政府可调控总费用 居民利用地面公交，轨道交通一次出行的时耗,BRt 轨道交通，地面公交的客流分担率,P 利用轨道交通，地面公交出行广义费用,RBC3. 模型的建立与修正3.1 孤立公交系统的价格需求博弈模型。在孤立公交系统层面上，基于假设 2.2.1，我们给出如下重述1) 选择公交出行的乘客人群固定，其将公交作为出行的唯一选择，且其每月至少乘公交出行的次数为 。0Z2) 在这个人群中其出行意愿、次数与公交价格相互作用，且整个过程中票价的高低不受到除乘客和公交公司外的第三方影响，最终可以使得体系中人均月

9、乘公交次数和票价达到一个相互制衡的稳定状态。基于上述假设体系中公交票价和乘客需求就符合一类经典的价格需求博弈模型 1，首先我们不考虑财政补贴票价，仅从供需出发作出如下讨论设此模型中居民人均月可支配收入为 ，公交票价为 ，博弈模型中的效用函数为M0P，其大小只与人均月乘车次数 Z 和月支出中除乘坐公共交通支出外的费用 J 相关，而且有 满足： 0(,)JZJ其中， 0,1居民预算的约束函数为 0MZPJ根据 KT 条件，有： 0JPZ记 ，由上述最优化问题解得居民每月乘坐公共交通随票价变化规律满足为：00(1)MZZP进而计算出企业收入为： 00(1)ZZ3.1.1 引入票价补贴情况下的修正模型

10、在上述模型中引入政府按次补贴，即设政府直接为每人次乘客进行财政补贴，即直接对票价额度进行补贴 ，则 ,为上述人群实际支付票价，那么该模型可直接修正为P000(1)MZZP此时，企业总收入为： 00 0(1)ZZPP政府补贴总数： 00(1)MSZZPP居民乘车支出 00()(1)ZZP下面我们根据 2010 年上海官方公布的实际原始数据，确定上述模型参数如下(见表一，数据来自上海统计年鉴 2010)上海市人均收入 M（元/月） 1750上海市选择公交出行的固定乘客人数 C（万人） 960.66人均每月最低出行次数 （次）0Z10近期日均地面公交载客量 （万人）1Q770近期日均轨道交通载客量

11、（万人）2 516地面公交平均票价 （月/ 人次）1r 2轨道交通平均票价 （月/ 人次）2r 4日均公交补贴（万元） 885表一 上海居民相关数据我们首先对地面公交和轨道交通做一致化整体处理，且下面的讨论始终将公共交通系统作为一个整体讨论票价和人均月出行次数的关系。根据地面交通和轨道交通的载客量作为权重计算出整个公交系统的平均票价（补贴后）为元，12021r+r=.8QP由表中数据可计算在上述平均票价下的人均月出行次数为次12304CZ将 、 的值代入式内，解得参数0PZ。=0.48由表中财政公交补贴每月总投入和居民月出行总次数可得到，平均每人次的公交交通补贴额为：元12850.6PQ故认为

12、公交系统的原始票价为 元。0.34由上述变量值带入可绘制出如下曲线：图一由上述曲线可知，当政府补贴 P 趋近于 3.5 元时，可以观察得到人均每月出行次数 Z趋于无穷大，即当票价趋近于免费时，会造成客流量的井喷进而导致公共交通系统的崩溃，类似于广州亚运会时出现的状况。但若考虑实际情况下，整个公共交通系统的允许载客量受客观条件限制不可能随需求无限增长，同时在整个社会出行意愿增加情况下造成的堵塞拥挤等不舒适状况必然反过来作用于人群的出行意愿，阻止出行次数的增长，于是我们认为客流量随补贴增加的过程中趋于一个上限 ，并据此修正上述模型，构造阻止增长模型。maxZ3.1.2 阻滞增长修正模型由式得 20

13、()dZMP因为 存在上限，所以我们在等式右边增长速度中引入阻滞增长项 ，和Z max(1)Z人均月出行次数上限 ，得到：max，20max(1)()dZMZP根据上海交通运行状况分析，我们令 次，max6由原始模型曲线经过点（0.688,40） ，我们以此点作为修正过程中的不动点带入上述修正模型，解得：0max-rMp12Z=1+8.095e用 matlab 绘制曲线（如下图）图二由图中看出，当补贴额度很小时（0.5 元） ，函数斜率较小，说明人们对政府补贴不敏感，也就是说，当政府补贴增加时，人均每月出行次数增量相对较小，通过公交补贴提高公交出行意愿的作用不明显；当补贴额度逐渐增大时，函数斜

14、率陡然增大，人们对政府补贴敏感度加强，补贴对出行意愿的影响效果明显；当补贴额度超过 1 时，函数斜率减小，出行环境恶化，人群出行意愿趋于饱和，整个社会客流需求接近公共交通系统可以承载的上限。因此，我们要在充分利用公共交通系统满足社会流动性需求和保证出行环境舒适之间找到一个平衡点，为此我们引入此平衡问题中的效益函数 。令 ，表示平均单位补贴对人均出行次数的贡献， 将式代入 中，得到ZP 关于 P 的函数关系，并绘制如下曲线：图三由上图中看出，当政府补贴很小时，效益 趋于正无穷，但此时人均每月出行次数很小，显然公交资源没有被充分利用，所以考虑 时的图像特性知，在 P 的增加过程0.2P中存在 的最

15、大值。 关于 P 求导得，2 20(1+)maxzdrMPd 0128.095rMPde其 中 ，绘制 的导数随 P 关系曲线：图四解得导数的零点为 0.8086，对应效用函数的最大点处有： max(0.86).54=53.8P=0.86Z此 时 ， 次 ， 元说明，当每人次政府补贴达到 0.8086 元时，公交资源得到最有效的利用，而且保证了环境的舒适度。在前面的计算中发现，现在的政府补贴为 0.688 元/人次，所以现有状况下，公交资源还没有得到最有效的利用，政府补贴还有较大的上调空间。3.1.3 地面公交和轨交的补贴分配方案下面我们根据前述得到的对整个公共交通系统讨论的补贴方案，具体到地面交通和轨道交通的每种出行方式乃至每种票价上来，细化补贴额度和补贴方案。分配原则 1：根据地面公交与轨道交通各自的交通成本比例进行两个系统补贴分配，其中： =+交 通 成 本 补 贴 后 票 价 客 流 量 政 府 补 贴根据当前上海市的地面公交和地铁票价，我们认为不考虑换乘地面公交的当前补贴后地面公交票价可直接认为是 2 元；轨道交通系统的票价取各种票价的按次数分布的中位数为 4 元。