1、第七章线性系统的稳定性分析11. 高为炳编著： 运动稳定性基础 ，高等教育出版社 , 1987 年 5月2. 黄琳： 稳定性理论 ，北京大学出版社 , 1992年 7月3. 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用 , 科学出版社 , 1980年4. 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义 , 人民教育出版社 , 1978年 5月5. 黄琳： 稳定性与鲁棒性的理论基础 ,科学出版社， 2003年 2月参考书26. LaSalle, J. P., Stability by Lyapunov direct method, New York: Academic Press, 1961.7. Hahn
2、, W., Stability of motion, New York, Springer-Verlag, 1967.8. Desoer, C.A. and Vidyasagar, M., Feedback systems: Input-output properties, New York: Academic Press, 1975.3任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。此外，我们知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题
3、简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。4预备知识 : 微分方程解的存在性及唯一性条件、解对初值的连续依赖性。1. 微分方程解的表示。 考虑微分方程：其解 x(t) 是自变量 t 的函数，而 t0, x0 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量 t 与初值 t0、 x0 的函数 , 可记为 x(t, t0,x0) 例如5问题： 当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。2. Lipschit
4、z条件：6若存在一个常数 L， 使得对任何 都有则称 f 在 上满足 Lipschitz条件。这个定义可以推广到 W 为任意有限 n维空间的情形。注： 满足 Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和唯一性。3. 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性7定理 1（ 存在性及唯一性定理 ） ： 对于微分方程若 f (x,t) 在 W I 域内连续且满足 Lipschitz 条件，则对任意的初始条件x(x0, t0)W I，总存在常数 a0， 使得有唯一解x=x(t, t0, x0)在 t0a, t0+a上存在、对 t 连续 ，且满足初始条件x(t0)=x0。稳定性所要研究的是解的渐近性质
5、，即当解 x(t)在 t时的性状。故总假定在 t0, ) 上解是存在的。8定理 2（ 解对初值的连续依赖性 ）： 在定理 1的条件下，若 f (x,t) 在域内连续且满足 Lipschitz 条件，则微分方程的解 x(t, t0,x0) 作为 t, t0, x0的函数在它的存在范围内是连续的 , 即“ 0, 0, 使得当 x (t0) (t0) 时 ,有x(t, t0, x(t0) (t, t0, (t0), atb , a t0 b以上定理说明： 若在初始时刻 x (t0)和 (t0) 十分接近，则在定义域 a, b内的解 x (t)和 (t) 也会十分接近。97-1 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间 t0, )满足存在和唯一性条件。一、平衡状态的稳定性1.平衡状态考虑系统：若随着时间 t 的变化，状态 x=xe保持不变（即恒为常数），则称这个状态为系统的 平衡状态 。由于平衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程 10
