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1、1福建省诏安第一中学校本教材诏安一中数学组 沈彦章2目录前言-3一 数学与美学-4二 数学美的简洁性-6三 数学美的和谐性-13四 数学美的奇异性-23五 数学美之美的扭曲-31六 数学美学的研究意义-393前言中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上

2、，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天大宇宙；地，自然界及其中一切动植物中宇宙；人最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。 ” 顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。 数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。4（一）数学与美学“美学 ”其英文为 Aesth

3、etic,希腊文原义是“感性、感受”。这种解释特别适合数学美,数学中的美是靠体会出来的,是一种感受,是在实践的基础上产生的。不懂数学的人他会说数学美吗?肯定不会,他看到的都是些杂乱无章的符号,繁琐冗长的计算和复杂图形的描绘。美是使人心情愉悦的,而美又是难以捉摸,微妙即逝的。美是世界上最有力量的东西,数学美便是如此。大数学家克莱因曾说过:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目 ,诗歌能动人心弦, 哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活。但数学却能提供以上一切。 ”数学的美不知使多少有识之士孜孜不倦 ,苦心孤诣地为她献身。5当代美学家们认为,美应包含下列各项：审美对象 审美性质 审美本质 自然美

4、 社会美 科学美 艺术美数学其英文是 mathematics，这是一个复数名词“数学曾经是四门学科算术、几何、天文学和音乐。处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。 ”自古以来多数人把数学看成是一种知识体系,是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和。它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识,又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象也可以来自人类思维的能动创造。从学科分类来看数学是理论自然科学中的重要分支素有“科学之王”之美誉!从数学的起源来看。她是对客观事物的一种量的抽象从客观存在的有限性演变为认识领域的无限性.从人文环境来

5、看数学有着无与伦比的美学情趣古希腊有一句名言学有着无与伦比的美学情趣古希腊有一句名言：“哪里有数，哪里就有美。 ”面对以上种种美誉，那数学为何如此美丽又该怎样从美学的角度来观察、分析、理解、并感受数学的魅力。事实上数学美的表现形式是多种多样的从数学的外在形象上观赏，她有体系之美、概念之美、公式之美。从数学的思维方式上分析，她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美。从美学原理上探讨，她有对称之美、和谐之美、奇异之美6等。此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。数学美的特征是什么?概括起来讲有简洁性、和谐性和奇异性.有位学者曾说过“若要把感性的人变成

6、理性的人，唯一的路径是使他成为审美的人” 。青少年阶段，世界观、人生观初步形成。自我约束和控制意识不强，存在许多不稳定的因素。尤其需要用美的规律来改造他们的主观世界。数学美的概念提出以后，国内的相关文章层出不穷。但多数文章只停留在对数学美的描述上，却忽视了对美学对象的教育，导致现在有许多中学生还不知道什么是“数学美” 。因此在课堂上展现数学美是何等重要。在教学中教师应充分利用数学中的美的内容、形式，运用美的教学手段培养学生的数学审美能力，真正发挥数学美的作用，激发学生学习数学的兴趣。（二）数学美的简洁性7华罗庚教授说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁、无不

7、可用数学表述。著名科学家伽利略也说过：“数学是上帝用来管理宇宙的文字。 ”数学之所以用途之广，系由其自身的特点决定。简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁。数学家 L.J.。莫德尔说：在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元就是以可简单的制服任何数目的款项。简单的这样一个图形，以代表世上一切方形的物体，它给人们简洁、大方。但它并不仅是为了简洁而简，还极大地给人以方便，给人以联想。又正如没有人愿把一亿写成 l00000000。而要写成 10 的 8 次方。千万分之一不写 1

8、/100000000。而是乐于写成 10 的-7 次方。没有多少人身上带着几万元甚至几百万的钞票在大街上走来走去，而是带着一张银行卡。只需记着由 0129 中几个数字，化繁为简，化难为简，力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算上，论证也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。数学的简洁性系指其抽象性、概括性和同意性。正是因为数学具有抽象性和同意性，因而其形式应当是简单的。实现数学的8简单性，抽象、统一的重要手段是使用了数学符号。1.符号美 符号就是某种事物的代号，人们总是探索哟内个简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学

9、自身的抽象与约束，集中精力于主要环节这。在事实上增加了人们的思维能力。数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言也难以发展一样。几乎每一个数学分支都是靠一中符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。数学符号的产生，发明、使用和流传传播却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。如古代的埃及、巴比伦、阿拉伯和我国的各种记数方法的演变。著名的“六人相识问题”它是拉姆赛定理的特例：任何 6 个人中必可从中找出 3 个人，使得他们要么彼此都相识，要么彼此都不相识。把“人”用“点”表示人与人的“关系”用“红、蓝两色线”表示，线表示他们彼此相识。表示他们

10、彼此不相识。这样六个人A、B、C、D、E、F 中的某个人比如 A 他与其他 5 位的关系由于只用两种颜色表示，其中必有一种颜色的线不少于 3 条。不妨设AB、AC、AD 三条且他们为红色，图中用实线表示。把这个抽象的问题演化成“点”与9“染色直线”从而巧妙地解答它这不能说是“符号”的一大功劳。接下去考虑 B、C、D 三点间的连线:若它们全为兰色,图中用虚线表示, 那好 BCD 三点为所求它们代表的三个人彼此都不相识.若三点间连线至少有一条为红色,设它为 BC,这时 ABC 三点为所求. 它们代表的三个人彼此都相识. 。其实我们还可以有进一步的结论,上述彼此都相识或都不相识的“三人组”六个人中至

11、少存在两组。上面的事实再次证明了数学符号的威力,没有它至少问题的叙述会变得复杂而困难。又关于“” 九章算术如斯说 “割之弥细,所失弥小.割之又割,“2”这一差点被无理的行为淹没的无理数,我们一直难以忘怀那位因发现“边长为 1 的正方形其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯.公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员。还有 sin、 等等一个又一个数的语言,无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致 。又比如函数 y=f(x)这一简单的表达式把两个变量 X 和 Y 的关系通过对应规则 F 并且用等号连接在一起,深刻地表现了数学的符号美和简单美 。2. 抽 象 美数学的简洁性在很大的程度

12、上源自数学的抽象性.换句话说,数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时,抽象更是必不可少的。“抽象”系指不能具体体验到的,这儿我们所谈的抽象有两种含义:101.我们不容易想象,或意想不到的.2.我们无法体验到或与现实较脱节的。对于前者这也是用数学去“证明”某些难以理解的事实的最好工具.对于后者,说明数学本身具有的特征与魅力。对于前者,我们看下例:比如提到原子,人们都会觉得它小, 从数据上讲它的直径约为 10 -10m.这看上去很抽象,它到底有多小?如果作个比方 “一个原子与一滴水之比”就如“一滴水与整个地球之比”一样,你就会觉得形象了。与这十分相似的，还有另一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯( 在印度北部) 的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 64 片金片，这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。