上海交通大学矩阵论B卷.DOC

1、上海交通大学矩阵论 B 卷姓名： 班级： 学号：一、 单项选择题(每题 3 分，共 15 分)（答案 AAAAB）1. 设 收敛，则 A 可以取为1)kAfA. B. C. D. 09091010.注：A 的特征值为 0，-1，而 的收敛区间为1kx,)2. 设 M 是 n 阶实数矩阵，若 M 的 n 个盖尔圆彼此分离，则 MA. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理 M 有 n 个不同特征值，故可以对角化3. 设 的，则 M 不存在21A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解注：M 的秩为 2 故无 QR 分解4. 设，则 A=A. B

2、. C. D. 1402314062403120461注： ，故()Atte00Atee5. 设 3 阶矩阵 A 满足多项式 , 且其最小多项式22(4)()EOm(x)满足条件 ,则 A 可以相似于(1)3mA. B. 2013M20MC. D. 20031注：B 中矩阵的最小多项式为 2x二、填空题(每题 3 分，共 15 分) 1 设 ，则 E+ 。20Acos2A2cos1A2已知 ,并且 ,则矩阵幂级数 = nC()10k2EA 。3设矩阵 ，则 A 的谱半径 123441A()A 。24. 设 ，则 n(,)mnHoRdi(Im)di(ker)5 设 5 阶复数矩阵 A 的特征多项

3、式为 ,则21(2)f 20 . A注：把 E 写成 1 或 I 均可； 也可有其它等价形式如2E等222,AA三、 （8 分）利用初等变换求 ，其中1B， 。4502317A 45 0231 7 9B答案： = （各数值均可取近似值如 算成 ）1BA 0 4 9 1831325解法一、解答中只要是使用列初等变换的思想即得 4 分，初等变换的用法正确但答案较离谱给 6 分，有清淅的步骤但结果错误较大给 7 分，明显简单数值计算错误或答案完全正确给 8 分；解法二、使用行初等变换求出 再计算 ，答案无明显错误给1A1B满分，否则只给 2 分。四、 （10 分）设 V 是由函数 的线性组合生成的线

4、2,xxee性空间，定义 V 的一个线性算子如 . 求 T 的 Jordan()Tf标准形及 Jordan 基。证明：1。由定义 1 0222, xxxTeee= ， （2 分）,xA2计算出 A 的特征值为 1，3； （2 分）3用最小多项式或初等因子或零度判断 Jordan 块形状（2 分）4 给出 A 的 Jordan 标准形； （2 分）1 0 25写出过渡矩阵与基变换正确公式； （1 分）6给出 Jordan 基。 （1 分）注：Jordan 基不唯一如， ；21,xxee等均算正确（不严格要求基变换为正交变21,xxxee换）五、 （10 分)设，1 20 34A求 A 的四个相关

5、子空间： .(),(),TNRAN解法一、1求出 Hermite 标准形； （2 分）2求出每个子空间给（2 分）共 8 分；解法二、直接由定义求子空间给分方式：算出任意一个给 4 分，其余每算出一个给 2 分。注：计算过程中的错误如不影响子空间的维数最多可扣 1 分；如计算错误影响到空间维数但步骤正确扣两分。六、 8 分）求矩阵 的孤立盖尔圆盘（即对矩阵0.9 1 .283. 0.4A作适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的） 。解法一、1 只要有分离盖尔圆的想法即可得； （2 分）2 选择正确的相似过渡矩阵； （2 分）3 算出三个分离的盖尔圆。 （4 分）解法二、直接计算 A 的列盖尔圆

6、并指出他们是分离的给满分（8 分） 。注：仅求出 A 的行或列盖尔圆但没进一步处理给（2 分）七、 （8 分）已知正交矩阵 表示一个旋转，求其旋转2 1 33 轴与旋转角。1指出特征值 1， （2 分）2求出 1 对应的特征向量（1，1，0）并指出其为旋转轴， （2 分）3指出旋转角度和另两个共轭特征值关系，或指出旋转角与矩阵迹的关系； （2 分）4求出旋转角 ， （2 分）1arcos3注：思想正确但没算 1 的特征向量或算错特征向量至多扣一分；旋转角的各种表示均可（如 ） ；全题中的计算错误总2arcsin3共至多扣一分。八、 （8 分）设 求证： .10,AEAn32证法一、1算出特征多

7、项式 ， （2 分）21f2指出 ， （2 分）0fA3使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在 A 的谱上数值相等”正确证明结论， （4 分）注：第 3 步中没有验证函数在 处的导数值扣两分。1解法二、1算出特征多项式 ， （2 分）2f2指出 ， （2 分）0fA3使用归纳法或直接从多项式 分解出因子21n从而证明结论。 （4 分）21f解法三、1直接计算出 ， （4 分）3230AE2使用归纳法或直接从多项式 分解出因子21n从而证明结论。 （4 分）21f解法四、1求出 A 的 Jordan 标准形； （4 分）2用 Jordan 标准形计算出结论。 （4 分）注：把 A 当作可相似于

8、对角阵从而计算出结论视其是计算错误所致还是思想错误所致而给分，前者至多扣一分，后者给 4 分。九、 （8 分）对下面矩阵 A 求矩阵函数 ：Ate。2 31 解法一、1求出特征值多项式并指出其为最小多项式， （2 分）2设 ， （2 分）201ga3列出线性方程组 ，其 （2 分）0122301249ttea4算出 （2 分）Ateg注：过程全且计算出 给满分（不管计算正确与否） ，未计012,a算扣一分。解法二、1求出特征值多项式并指出其为最小多项式， （2 分）2算出 A 的相似对角形及过渡矩阵， (2分)3用书上定理写出 ， (2 分)Ate注：有步骤但未具体计算出过渡阵扣 2 分，算出过渡阵但未算出其逆扣 1 分。十、 （10 分）证明矩阵范数 分别是向量范数12|, |A和导出的算子范数。12, l和只需证三个范数之一即可。一、1 ， （211|max|nijjiA分）2 1111|(|)nnnijjijijjiXaxa= ， （2 分）1|m|nnjijj i1|x|nijjiX3 ， （2 分）110|supXA4设 j 是使 1 中的最大值达到的列，令 ，则0,1,0TjX 第 个。 （21|AX分）二、三、类似略。注：证明中只要涉及到这些点即给分而不考虑证明的组织，而且4 这一条并不要求有明确构造（有这种想法即可）