Department of Mathematics 第三节 辐角原理及应用 1一、对数留数 1.定义 具有下列形式的积分: 说明: 1) 对数留数即函数f(z) 的对数的导数 2) 函数 f(z) 的零点和奇点都可能是 的奇点. 22.引理6.4 证明 3453.定理6.9 则有 注意:m 阶零点或极点算作m 个零点或极点. 6证明 由第五章习题( 二)14 可知, 由引理6.4可知, 7故由留数定理及引理6.4得, 8例1 计算积分 解 故 9二、辐角原理 . 1.对数留数的几何意义 10112辐角原理 注 12例2 试验证辐角原理. 解 则 13注 14例3 15故 而 证明 16所以 另一方面又有 故 从而 17三、儒歇(Rouche) 定理 1定理6.10 证明 18于是由辐角原理 而 由条件(2), 19即 故 20如 证明 一般情况下有 21例4 符合条件 证明 22例5 证明 令 23例6 证明代数学基本定理: 证明 2425例7 试确定方程 解 2627下面给出单叶解析变换的一个重要性质 2定理6.11 证明 由零点孤立性 , 28但这些零点无一为重点, 29作业 P
