1、正交变换与正交矩阵戴立辉 林大华 林孔容(闽江学院数学系，福建 福州 350108 )摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变换的等价条件 ； 从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质 .关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质一、正交变换定义 1.1 设 A是欧氏空间 V的一个线性变换 ,若 A保持向量的内积不变 ,即对于任意的 ， V都有 (A， A) = (， )， 则称 A为 V的正交变换.二、等价条件定理 2.1 设 A是 n维欧氏空间 V的一个线性变换 ,则下列命题等价 :1)A是正交变换 ；2)A保持向量的长度不变 ,即对于 V， |A|=|；3)A把 V的标准正交基变
2、为 V的标准正交基 ；4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵 .证： 1） 2） 对于 V,由 (A， A)=(， ),即得：|A|=|2） 3） 设 1， 2， ， n是 V的任一标准正交基 ,记 i+j=V.由 |A|=|或 (A， A)=(,)得(A(i+j)， A(i+j)=(i+j， i+j）而 (A(i+j)， A(i+j)=(Ai， Ai)+2(Ai， Aj)+(Aj， j)=(i， i)+2(i， j)+(j， j)(i+j， i+j） =(i， i)+2(i， j)+(j， j)故 A1， A2， ， An是 V的一组标准正交基 .3)4） 设 1， 2， ， n是 V的标准正
3、交基 ,A(1， 2， ， n)=(A1， A2， ， An)= (1， 2， ， n)A由 3), A1， A2， ， An是 V的标准正交基,故 A可看作是由标准正交基 1， 2， ， n到标准正交基 A1， A2， ， An的过渡矩阵 ,A是正交矩阵 .4)1） 设 1， 2， ， n是 V的标准正交基 ,且 A在此基下的矩阵 A为正交矩阵 .由 (A1， A2， ， An)= (1， 2， ，n)A,知 A1， A2， ， An也是 V的标准正交基 ,设=x11+x22+ xnn,=y11+y22+ ynn,则A=x1A1+x2A2+ xnAnA=y1A1+y2A2+ ynAn (A,
4、A)= x1y1+x2y2+ xnyn(,)= x1y1+x2y2+ xnyn所以 (A， A)=(， ),故 A为正交变换 .三、正交矩阵正交矩阵有以下几种等价定义 .定义 3.1 A为 n阶实矩阵 ,若 ATA=E,则称 A为正交矩阵 .定义 3.2 A为 n阶实矩阵 ,若 AAT=E,则称 A为正交矩阵 .定义 3.3 A为 n阶实矩阵 ,若 AT=A-1,则称 A为正交矩阵 .定义 3.4 A为 n阶实矩阵，若 A的 n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称 A为正交矩阵 .性质 3.1 设为 A正交矩阵，则：1） |A|=1； 2） A可逆，其逆 A-1也是正交矩阵；3） AT，
5、A*也是正交矩阵 .证： 1）由 AAT=E， 可知 |A|2=1， 或者 |A|=1.对正交矩阵 A， 当 |A|=1时， 我们称 A为第一类正交矩阵；当 |A|=-1时，则称 A为第二类正交矩阵 .2)由 AAT=E,可知 A可逆 ,且 A-1=AT,又(A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E.故 A-1是正交矩阵 .3)由 2)知 AT=A-1,AT是正交矩阵 .而 A*=|A|A-1= A-1,有(A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1,故 A*是正交矩阵 .性质 3.2 设 A， B都是正交矩阵，则：1)AB， Am(m为自然数 ),ATB， ABT， A-1B， AB-1， A-1BA等都是正交矩阵；证 :1)由 AT=A-1,BT=B-1可知(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1，所以 AB为正交矩阵，从而再由性质 1可推知 :Am(m为自然数 ),ATB， ABT， A-1B， AB-1， A-1BA等均为正交矩阵 .
