1、范例 14.6 一维无限深势阱中的粒子的波函数如图所示，有一质量为 m的粒子在一维势阱中运动，势函数为由于曲线像 “井 ”且深度无限，因而形象地称为一维无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。解析 由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，所以定态波函数 (x) = 0 (x a， x 0)。粒子在阱内定戊波函数的薛定谔方程为(0 x a)Oax设 方程可简化为其通解为 (x) = Asinkx + Bcoskx，由于波函数是连续的，在 x = 0处有 (0) = 0，所以 B = 0。波函数为 (x) = Asinkx。范例 14.6 一维无限深势
2、阱中的粒子的波函数如图所示，有一质量为 m的粒子在一维势阱中运动，势函数为由于曲线像 “井 ”且深度无限，因而形象地称为一维无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。在 x = a处也有 (a) = 0，所以 Asinka = 0，由于 A不恒为零，所以 ka = n。k只能取不连续的值，用 kn表示，则kn = n/a (n = 1， 2， 3， )Oax可得 (n = 1， 2， 3， )n称为量子数。要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，或者说能量是量子化的， En称为能量的本征值。(x) = Asinkxn = 1状态称为基态，也就是粒子能量最低的状态，最低能量为其他态称为激发态，
3、 E2称为第一激发态。范例 14.6 一维无限深势阱中的粒子的波函数能量 En对应的波函数为不同的能级具有不同的波函数。(n = 1， 2， 3， )(0 x a)根据归一化条件(x) = Asinkx，可得因此 可见：波函数的归一化常数与能级的级次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。波函数为概率密度为可见：粒子在势阱中出现的概率因地而异，在阱壁处的概率为零；概率密度分布还随量子数改变。这些结果与经典力学根本不同，按照经典力学的观点，粒子在势阱内各处出现的概率应该相等 。能级个数不妨取 4。一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。量子数 n也是波腹的个数，波腹之间有 n - 1个波节。粒子的波函数的模方就是概率密度，其高度表示能级。在两壁处，概率密度恒为零，表示此处不会出现粒子。当量子数 n = 1时，中间出现粒子的概率密度最大；当量子数 n = 2时，有两个地方出现粒子的概率密度最大 。
