第四章 一元函数积分学.doc

1、第四章 一元函数积分学导学一、学习要求1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切线斜率已知时，满足一定条件的曲线方程。知道不定积分与导数（微分）之间的关系。了解定积分的定义设 f(x)在a,b上连续，存在 F（x）使得 F（x）=f(x) ，则2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。了解不定积分和定积分的性质，尤其是：3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其值。4、熟练掌握分部积分法。分部积分公式为：会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分（1）幂函数与指数函数相乘。（2）幂函数与

2、对数函数相乘。（3）幂函数与正（余）弦函数相乘。5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。6、知道变上限定积分概念，知道 是 f(x)的原函数，即7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即（1）若 f(x) 是奇函数，则有)()(xfdxf )()(xfdfbaabdxfdxf )()(bccaba fff )()()( vduudvxvudxv或 babababa | 或 babaadxf )()()()(|)()()(xfdtfxxa是adxf0)(（2）若 f(x) 是偶函数，则有本章重点不定积分、原函数概念，积分的计算二、学习方法 看例子、尝试做、不懂就问三、学习内容（一） 、原函

3、数概念定义一：设 f(x)是定义在区间 D 上的函数，若存在函数 F(x)对任何 xD,都有 F(x)=f(x)(或 df(x)=f(x)dx)则称 F(x)为 f(x)在区间 D 上的原函数(简称为 f(x)的原函数)如:已知函数 f(x)=sinx函数 F1(x)=-cosx 和 F2(x)=-cosx+2 都是 f(x)=sinx 的原函数。(C)=0, F(x)=-cosx+C 都是 f(x)=sinx 的原函数注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。定理 1，若 F(x)是 f(x)在某区间上的原函数，则 F(x)+C(C 为任意常数)包含了 f(x)的全体原函数。如：在任一点 x

4、处切线斜率为 2x 的曲线方程是 y=x2+c2、不定积分的定义定义 2，对于某区间 D 上的函数 f(x)，若存在原函数，则称 f(x)为可积函数，并将 f(x)的全体原函数记为f(x)dx称它是函数 f(x)的不定积分,其中 f(x)是被积函数,x 是积分变量 ,是积分符号。若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的不定积分为f(x)dx=F(x)+C(C 称为积分常数)注:(1)积分号表示对函数 f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数 f(x)的(原) 函数 F(x)+C(2)x 是积分变量 ,它与用什么字母表示无关,所以 式中将 x 换成u 仍成立 ,即f(u

5、)du=F(u)+C (C 为积分常数)(3)“求一个已知函数 f(x)的全体原函数”可表示为:f(x)dx=F(x)+C(4)求一个已知函数 f(x)的全体原函数的方法为:先求一个原函数 F(x)即 F(x)=f(x)再由 式即可求出全体原函数. aaadxfdxfdxf00)(2)(2)(例 1、已知曲线 y=F(x)在任一点 x 处的切线斜率为 2x，且曲线过(1,2)点，求此曲线方程：解：由导数的几何意义知：k=F(x)=2x(x 2)=2x F(x)=x 2 是 2x 的一个原函数。y=2xdx=x 2+c又曲线过 (1,2)点,把 x=1,x=2 代入上式得2=12+C 即 C=1

6、所以,所求曲线方程为:y=x 2+1例 2 经过调查发现 ,某产品的边际成本可由下列函数给出 2q+3 某中,q 是产量数,已知生产的固定成本为 2,求生产成本函数。解：设所求生产成本函数为 C(q)，由题知：C(q)=2q+3(q 2+3q)=2q+3F(q)=q 2+3q 是 2q+3 的一个原函数C(q)= (2q+3)dq=q 2+3q+c0(c0 是积分常数)由已知生产的固定成本为 2,即生产是 q=0 时, 成本是 2,代入上式,得C(0)=02+30+C0=3 得 C0=2所以,生产成本函数为:C(q)=q 2+3q+2(二 )、积分基本公式1、不定积分与导数( 微分)之间的关系

7、2、导数基本公式 积分基本公式注：上述积分公式中 x 可以换成 u(三)、基本积分法1、不定积分的性质性质 1：两个函数之和(差) 的不定积分，等于它们的不定积分之和(差)即性质 2：在求不定积分时，非 0 常数因子可以提到积分号外面。即2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。dxfxfdxfdxf )()()()( 或 CC 或xxeaxxCa21sin1)cot(asin)co(sil)(ln)10(l)og()且 CxdxdCeaxacotsin1acssinicoln|l1)1(021 dxgdxfdxgxf )()()()()()( 常 数为 非

8、kdxfkdxf举例：书 P155157例 1：求下列不定积分例 2、某商场销售商品的边际收入是 64q-q2(万元 /千件)某中 q 是销领带量 (千件)，求收入函数及收入最大时的销售量。解：设收入函数为 R(q)，由题知 R(q)=64q-q2得由 q=0,R(q)=0,知，C=0因此，所求收入函数为收入最大时的销售量是使的 q 值，得 q=64(q=0 舍去)所以获得最大收入时的销售量为 64(千件)dxx)sin() dxex)23()sin1(1x解 Cxdcos|lnidedxexxx23)23( Cedxexx)2ln(3)2(3dqdqRq)64()()(2 Cqdq32322

9、164(312)(万 元qR064(3 q3、凑微分法(第一换元法)由 应将微分 dx 凑成使变量 x 改为 3x，即应将微分 dx 凑成 使变量一致变为 3x-1，即一般地，凑微分法是先将f(x)dx 中的 f(x)dx 凑成微分形式( 可统一变量的微分形式)dxeCedu3知 计 算)3(1x CexuCeduxdexdedxxx 31313)(31)(33 还 原视Cu10110知 计 算 )3(xd )13()(31)(31)()13(1000 xdxdxdx Cuu110视 x1)3(还 原 dufxudxufdxf )(1)()()(1)( 视 CFCF还 原亦即第一换元法。注：关

10、键是将 f(x)凑成 f1(u(x) u(x)且f1(u(x)u(x)dx 可利用积分基本公式积出。书 P158159注：关键是将 f(x)凑成 f1(u(x) u(x)且f1(u(x)u(x)dx)可利用积分基本公式积出.书 P158159例 3:求下列不定积分:解:(1)用凑微分法及积分基本公式 (2)用凑微分法及积分基本公式(3)用凑微分法及积分基本公式dx13)(dxex)1()2dx21sin)3(dx21)4(得,|ln1Cud )13()3(13 xdxdx Cudu|ln31视 |l还 原得,54u)()( 444 xxxx eeeCeedxx54)1()()1(sinsins

11、i22 ddx得,coux)1c()(1i(4)凑微分法及积分基本公式4、分部积分法(1)分部积分公式定理 4.2 设 u(x)，v(x)是可微函数，则有u(x) v(x)dx=u(x)v(x)-u (x) v(x)dx注:分部积分公式简写为udv=uv-vdu分部积分关键是:a:被积函数 f(x)可以写成 u(x)v(x)的特殊乘积形式;b:等式右边的积分u(x)v(x)dx 容易计算出结果。1) 若 f(x)是幂函数乘以 ex 或 sinx、cosx 常选择幂函数为u(x)，把 ex、sinx 、 cosx 写成 v(x)形式。2)若 f(x) 是幂函数乘以 lnx,常选择 lnx 为 u

12、(x)，把幂函数写成 v(x)形式。3)若 f(x)是 ex 乘以 sinx、cosx、u(x)、 v(x)可以任意选取。得,321Cud)21(122 xdxdx )1()()( 222 xdCCxxd 2323221 )()1()()(如：求下列不定积分解：(2)分部积分的列表法：自学四、重难点解析（一） 、原函数与不定积分的概念若 F(x)的导数为 f(x)，即 ,则 F(x)是 f(x)的一个原函数，且原函数具有下列xfF性质：若 F(x)是 f(x)是一个原函数，则 F(x)+C 仍是 f(x)的原函数，其中 C 为任意常数。若 f(x)有原函数存在，则有无穷多个，且任意两原函数之间

13、仅相差一个常数。求已知函数的不定积分即为求已知函数的全体原函数。二、不定积分的性质1、与求导(求微分 )为互逆运算2、运算性质其中 k1,k2 是任意实数。3、积分基本公式正如导数公式是求导运算的基础一样，积分基本公式是积分运算的基础，在积分中无论采取怎dxe)1( dx2ln)( xdcos)3(2xdecos)4(xeeex C11ln22 ln)llCxdxxn2 )(isisicos32 )(cos2sinsi2sin22 xdxxdxCco)(sicos)4(edexx )(siixxeedxn)cosndx)(cos(cossi xx eee)(co2xdxcsin2sexCxFdf)()()(xfdfx dxfxfd)()(C) Ckfkk)(2121样的方法进行计算，归根结底还是要设法利用积分基本公式求得最后的结果，可见，积分基本公式在积分计算中的重要，必须熟记并熟练使用。4、积分计算因为对于定积分 只需先求得相应的不定积分 ;再利用 NL 公badxf)( cxFdf)()(式求定积分。 设总成本函数 C(x)=2x2+10x+100（万元） ，边际收入42x12R (x)=60-x（万元/百台）求（1）收入函数（2）最大利润产量（3）最大利润（4）从最大利润产量再生产 2（百台）时，利润的改变量。