2008年高考数学理科必练的创新题型.DOC

1、- 1 -2008 年高考数学（理科）必练的创新题型下面这套卷子是从全国各地高考试卷、各地模拟考试卷中精选出来的，是考能力的“活题”这是用数学问题考查创新意识的典范，读者应从中有所启发本套练习所选新题的特点是：新而不难，活而不繁，入口较宽，思路多变，是数学非智力因素训练的好素材。本卷选择题 10 道，填空题 6 道，解答题 5 道。练习时间 90 分钟，满分 100 分( 当然，如果你的数学是中等左右水平，那么，练习的时间可以延长一点)。一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1（06 年山东）定义集合运算：AB =zz= xy(x+y)，zA，yB，设集合 A=0，1，B=

2、2，3，则集合 AB 的所有元素之和为 ( )A0 B.6 C.12 D.182（06 年辽宁卷）设 是 R 上的一个运算, A 是 R 的非空子集,若对任意 有 ,则称 A + ,ab +对运算 封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法( 除数不等于零)四则运算都封闭的是 （ ） +A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集3(05 天津)从集合1，2 ，3，11中的任意取两个元素作为椭圆 方程中的 和 ，则能21xymnmn组成落在矩形区域 内的椭圆的个数是 （ ）,|1,|9BxyyA. 43 B. 72 C. 86 D. 904（05 福建） 是定义在 R 上的以 3 为周期的

3、偶函数，且 ，则方程 =0 在区间)(f 0)2(f)(xf（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 25(06 上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A.48 B. 18 C. 24 D.36 6点 P 到点 A( ，0)，B( ，2)及到直线 x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 a21a21的值是 ( )A. B. C. 或 D. 或3237如果二次方程 x2-px-q=0(p,qN*) 的正根小于 3, 那么这样

4、的二次方程有 （ ）A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个8. 设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形 , 用平面 去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形 , 则这样的平面 （ ）A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个9.（05 全国 ）计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的记数制，采用数字 0-9 和字母 A-F 共 16 个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5、 15例如，用十六进制表示：E+D=1B，则 （ AB）A .6E B. 72 C .5F D. B0- 2 -10设 P 是ABC 内任意一点，S ABC 表示ABC 的面积， 1 ， 2 ，ABcPCSABCPS 3 ，定义 f(P)=( 1, , 3),若 G 是ABC 的重心，f(Q)（ ， ， ），则 （ ABC 316）A. 点 Q 在GAB 内 B. 点 Q 在GBC 内 C. 点 Q 在GCA 内 D. 点 Q 与点 G 重合二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离 之比为定值。类比上述

6、性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下 ： 12规定记号“ ”表示一种运算，即 . 若 ，则函数 Rbaba、， 31k的值域是 .xkf13一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）：第 1 行 1第 2 行 2 3第 3 行 4 5 6 7 则第 9 行中的第 4 个数是 A132 B 255 C259 D26014某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 E 发生，该公司要赔偿 a 元设在一年内 E 发生的概率为 p，为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_15（05 年湖南）设函数 f

7、(x)的图像与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a ，b上的面积，已知函数 ysinnx 在0， 上的面积为 （nN *），（i）n2ysin3x 在0, 上的面积为 ；32（ii）ysin（3x ）1 在 ， 上的面积为 .3416（06 年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是：3； 4 ； 5； 6； 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号

8、）三、解答题（共 5 小题，1010+10+10+12=46 ，共 52 分）（17）.（本题满分 10 分）（05 年全国）设函数 。y=f(x) 图像的一)0( )2sin()xf条对称轴是直线 （）求 ；（）求函数 的单调增区间；（）证明直线8xfy于函数 的图像不相切025cyx)(xfy A BCD A1 B1C1D1第 16 题图A1- 3 -18(本题 10 分 )某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是 棋盘上标有第 0 站、21第 1 站、第 2 站、第 100 站一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反

9、面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站( 失败大本营)时，该游戏结束设棋子跳到第 n 站的概率为 nP()求：P 0，P l，P 2；(II)求证: )(12nn()求：玩该游戏获胜的概率19（本题 10 分）(05 年北京) 如图，直线 l1： 与直线)0(kxyl2： 之间的阴影区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为kxyW1，右半部分记为 W2.（）分别用不等式组表示 W1 和 W2；（）若区域 W 中的动点 P（x，y）到 l1，l 2 的距离之积等于 d2，求点 P 的轨迹 C 的方程；（）设不过原点 O 的直线 l 与（）中的曲线 C 相交于

10、 M1，M 2 两点，且与 l1，l 2 分别交于M3， M4 两点. 求证OM 1M2 的重心与OM 3M4 的重心重合.20(2007 年上海市春季高考试题，本题 10 分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积”.求出体积 16/3 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4，体积为 16/3 ，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为 16/3 ，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系 xOy 中

11、，求点 P(2,1) 到直线 3x+4y=0 的距离. ”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题“逆向”问题可以是： 。21(本题 12 分 )设 轴、 轴正方向上的单位xyl1l2xyO- 4 -向量分别是 、 ，坐标平面上点 、 分别满足下列两个条件： 且 ijnAB)(*N1OAj1ni； 且 。（）求 及 的坐标；jOB311n2()3inOAB（）若四边形 的面积是 ，求 的表达式；Ana)(*（）对于（）中的 ，是否存在最小的自然数 M，对一切 都有 M 成立？若存在，求na )(*NnaM；若不存在，说明理由参考答案：一、选择题(每题 3 分，共 30 分)1D

12、 提示：当 x0 时，z0，当 x1，y2 时， z6，当 x1 ，y3 时，z12，故所有元素之和为 18，选 D2C 提示： A 中 121 不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中 1 20.5 不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件； D 中 不是无理数，即无理数集不满足条件，故选2择答案 C。3B 提示：根据题意， 是不大于 10 的正整数、 是不大于 8 的正整数。但是当 时mnmn是圆而不是椭圆。先确定 ， 有 8 种可能，对每一个确定的 ， 有 种可能。21xymnn 109故满足条件的椭圆有 个。选 B89724D 提示：由题意至少可得 f(0)=f(2)=f(

13、-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间（0 ，6）内 f(x)=0 的解的个数的最小值是 5,选(D)5D 提示：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成 24 个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正交线面对”，所以共有36 个“正交线面对”；选 D。6D 提示：（思路一）点 P 在抛物线 y2=2x 上，设 P( ,y),则有（ + ） 2=（ ）21ya2+(y2) 2,化简得( )y24y+ 2+ =0, 当 = 时 , 符合题意；1a415a当 a 时，=0,有 + +

14、=0,( + )( 2 + )=0, = 。选 D.387417a21（思路二） 由题意有点 P 在抛物线 y2=2x 上，B 在直线 y=2 上,当 a= 时,B 为直线 y=2 与准线的交点，符合题意；当 a= 时， B 为直线 y=2 与抛物线通径的交点，也符合题意，故选 D.答案：D217C 提示：由 =p 2+4q0,-q0, 即 3p+q9.由于 p,qN*，所以 p=1,q5 或 p=2,q2. - 5 -于是共有 7 组(p,q)符合题意故选 C8.D 提示：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 .作与 平行的平面 , 与四棱锥的各个侧面相

15、截，则截得的四边形必为平行四边形而这样的平面 有无数多个故选 D 答案：D9. A 提示：A=10,B=11,又 AB=1011=110=166+14,在 16 进制中 AB=6E,选(A)10A 提示：由题 f(p)= 若 G 为 .).,(321 )31,()Gf，BC则的 重 心而 与之比较知。 。故选 A。)6,312()Qf 中在Q二、填空题11（下列答案中任一即可，答案不唯一）（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值。（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意

16、一点到角两边的距离之比为定值。（4）在空间，射线 上任意一点 到射线 、 、 的距离之比不变。ODPOABC（5）在空间，射线 上任意一点 到平面 、 、 的距离之比不变。A12 提示：由 得 ，解得 k=1，所以 f(x)= ，f(x)在,131k31k )0(1x（0，）内是增函数，故 f(x)1，即 f(x)的值域为 ,13259 提示：第 1 行第 1 个数为 1 ，第 2 行第 1 个数为 2 ，第 3 行第 1 个数为0 14 ，第 9 行第 1 个数为 256，所以第 9 行第 4 个数为 2563 259 。2 9214(0.1+p)a 提示：设保险公司要求顾客交 x 元保险金

17、，若以 表示公司每年的收益额，则 是一个随机变量，其分布列为： x xaP 1p p因此，公司每年收益的期望值为 E=x(1p)+(xa) p=xap为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十，只需 E=0.1a，即 xap=0.1a， 故可得 x=(0.1+p)a即顾客交的保险金为(0.1+p)a 时，可使公司期望获益 10%a15 32,4提示：由题意得：y=sin3x 在 上的面积为 ， 在 上的图象为3203421)sin(xy34，一个半周期结合图象分析其面积为 。16 提示：如图，B、D 、A 1 到平面 的距离分别为 1、2、4，则 D、A 1 的中点到平面的距离为 3，所以 D1

18、 到平面 的距离为 6；B 、A 1 的中点到平面 的距离为 ，所以 B1 到平面 的5距离为 5；则 D、B 的中点到平面 的距离为 ，所以 C 到平面 的距离为 3；C、A 1 的中点到平面32的距离为 ，所以 C1 到平面 的距离为 7；而72P 为 C、C 1、B 1、D 1 中的一点，所以选。AOPB- 6 -三、解答题17（）解： 是函数 y=f(x)的图象的对称轴， ，8x 1)82sin(， ， 。Zk,24043（）由（）知 ，因此 。由题意得 ，43)2sin(xy Zkxk,2432所以函数 的单调增区间为 。)sin(xy Zk,85,（）证明： =|( |=| |2/

19、 /)si(x)43cos(x所以曲线 y=f(x)的切线的斜率取值范围是-2,2，而直线 5x-2y+c0 的斜率为 2，所以直线 5x-52y+c0 与函数 的图象不相切。)432sin(xy18解：(I)依题意，得 P0=1，P 1= ， .212(II)依题意，棋子跳到第 n 站(2n99)有两种可能：第一种，棋子先到第 n-2 站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第 n-1 站，又掷出正面，其概率为21nP 1nP 21n 211 nnnn PP即 )9)(2(11 Pn(III)由 (II)可知数列 (1n99)是首项为 公比为 的等比数列， 2011于是有 )()()()(

20、 9823120109 PP= 32)(1 109因此，玩该游戏获胜的概率为 .)2(1019解：（I） 1 2(,)|,(,)|,0.WxykxWxykx（II）直线 直线 ,由题意得:0lk2:0ly即22|.,1xyd22|.1kxd由 知(,),PW20,kxy所以 即22,1kxyd22(1)0.kxykd- 7 -所以动点 P 的轨迹方程为 22(1)0.kxykd（III ）当直线 与 轴垂直时,可设直线 的方程为 由于直线 、曲线 C 关于 轴对称,lxl()xalx且 与 关于 轴对称,于是 的中点坐标都为 ,所以121234,M1234OM的重心坐标都为 ,即它们的重心重合

21、.(0)3a当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为lxl(0).ymxn由 ,得22(1)kykdmn222().kkd由直线 与曲线 C 有两个不同交点 ,可知 ,且l 20222()4()().kkdA设 的坐标分别为12,M12,.xy则 12,()mnxxnk设 的坐标分别为34,34,.xy由 34,yxkxnnkm及 得从而 34122.mxk所以 341212()(),yxny所以 341200, .xy于是 的重心与 的重心也重合.12OM3420解：（1） 设所求轨迹上任意一点为 P(x,y) ，则 ，(2) 若点 P(2,1) 到直线 l:ax+by=0 的距离为 2，求

22、直线 l 的方程所以，直线 l 的方程为 x=0 或 3x+4y=0 意义不大的“逆向”问题可能是：(3) 点 P(2,1) 是不是到直线 3x+4y=0 的距离为 2 的一个点？ 解：因为 ，所以点 P(2,1) 是到直线 3x+4y=0 的距离为 2 的一个点(4) 点 Q(1,1) 是不是到直线 3x+4y=0 的距离为 2 的一个点？ 解：因为 ，所以点 Q(1,1) 不是到直线 3x+4y=0 的距离为 2 的一个点- 8 -(5) 点 P(2,1) 是不是到直线 5x+12y=0 的距离为 2 的一个点？ 解：因为 ，所以点 P(2,1) 不是到直线 5x+12y=0 的距离为 2 的一个点21解：（） 121nnOAA (1)(1)(1,)jijnijnBB 2333i()239(),021nni（） 1 112()109()33nn n nnPABPABaS ，25（） 1153(2)()nnn 1 12 4()33n n ， ， 。 ，120a230a340a450a， ，等5667即在数列 中， 是数列的最大项，所以存在最小的自然数 ，对一切n4589 6M都有 M 成立)(*Nna