10.4 二元函数的泰勒公式 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备. 三、极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式一、高阶偏导数 如果它们 关于 x 与 y 的偏导 数也 导数有如下四种形式: 存在, 说明 具有二阶偏导数二元函数的二阶偏类 似地可以定义 更高阶 的偏导 数, 例如 的三阶偏导数共有八种情形: 解 由于 例1 因此有数为 例2 注意 在上面两个例子中都有 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 它的一阶偏导数为 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导的混合偏导数: 由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 式. 由于 因此有类似地有 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件 连续，则 证 令 于是有 (4) (3)由 (4) 则有 (5) 如果令则有 用前面相同的方法, 又可得到 (6)在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式 合偏导数都与求
