第二届青岛市大学生科技节大学生数学建模竞赛.doc

1、1青岛市第二届大学生科技节数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了青岛市第二届大学生科技节数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。竞赛编号（请严格按要求书写）： C 乙 1202 所属学校（请填写完整的全名）

2、： 青岛滨海学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘雨林 2. 袁显赞 3. 王桂燕 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 于明利 日期： 2011 年 4 月 18 日2青岛市第二届大学生科技节数学建模竞赛评 阅 专 用 页评阅记录：评阅人评分备注1青岛市第二届大学生科技节数学建模竞赛题 目 青荣轻轨最优票价研究 关 键 词 最优票价 拉姆齐定价模型 层次分析法 青荣轻轨最优票价研究摘要轻轨作为迅速发展的一种新型交通形式，其运营和合理定价也日益为人们所关注。本文通过搜集数据，结合现实情况，建立模型对青荣轻轨的最优票价问题做了深入研究，得出青荣轻轨的最优票价为 0.42 元/人公里

3、。影响票价制定的主要因素有公众的承受能力，项目成本，客票收入，客流量以及与其他交通工具的竞争等。最优票价就是既充分发挥青荣轻轨的运力，又要使运营公司获得尽可能大的利润，在收支平衡的约束下追求社会福利最大化。本文首先建立拉姆齐定价模型，以平均成本确定的价格在企业收支平衡的基础上使社会福利达到次优。青荣轻轨的开通势必会与传统的公路、铁路交通形成竞争，而公众选择交通方式有一定的随机性。本文采用层次分析法，取票价、出行时间、舒适程度、安全性四项指标对公路、铁路、轻轨进行综合评价，得出有 47.23%的人选择轻轨，进而计算出轻轨客流量，在此基础上计算轻轨边际成本及价格弹性系数。综合以上因素，计算出最优票

4、价，并根据各站之间的里程，计算出各站间的票价见表（5.6） 。最后，本文对青荣轻轨最优票价问题向有关部门提出了建议，对模型在实际中的应用价值做了讨论。21.问题重述青荣轻轨为国铁级、单线和电气化铁路，客货并用，具有充分发挥青岛、烟台、威海作为区域中心城市的辐射作用，带动沿线城镇化发展的重要意义。随着青荣轻轨项目的开工，全线 15 个站之间的票价问题成为倍受人们关注的热点问题。1.1 目前的情况青荣轻轨项目于 2010 年底全面开工建设，其预计竣工日期为 2013 年 9 月 30 日，工期为 36 个月。工程全线总长 298.971 公里，其中桥梁 164.696 公里，占正线长度的 55.0

5、9%。青荣城际铁路全线共设车站 15 个。交通票价是决定轨道交通客运量发展的重要因素，交通票价的制定将直接影响轨道公司的利益和普通乘客的利益。1.2 面临的困境 交通票价问题向来是敏感而又复杂的问题，其往往具有双面性：过高的票价会使众多居民不堪负重，也可能使得铁路部门因售票情况不佳而损失惨重；过低的票价一方面可能使建设和运营成本难以收回。1.3 需要解决的问题（1）根据青荣轻轨的具体情况，分析影响青荣轻轨票价的相关因素，收集相关数据。（2）根据收集的数据，通过数学建模的方法，给出青荣轻轨各站间的最优票价。3（3）根据建模的分析结果，给有关部门写一份报告，并提出具体建议。2.问题分析2.1 影响

6、最优票价的相关因素青荣轻轨各站间的最优票价受多方面的影响，合理的票价定位既要考虑到项目投资者的利益和政府的财政支出. 又要考虑到公众的利益。我们根据青荣轻轨的具体情况，在假定各种社会不确定因素不变的情况下，得出影响最优票价的因素主要有以下五个方面：（1）公众的承受能力（2）项目投资者的投资成本（3）客流量以及客票总收入（4）社会总福利的大小（5）政府的财政支付能力及相关政策的制约而这些数据大部分可以通过上网搜集资料及阅读相关书籍得到。2.2 问题的分析题目并没有告诉具体的数据，为了能够得到较为准确的结果，反应出青荣轻轨各站间的最优票价与各种因素之间的关系，本文收集了大量的数据，而青荣轻轨交通线

7、项目的固定成本和运营成本都十分庞大,因此仅仅依据成本来制定票价将大大超出乘客的承受能力，从公众的利益、项目投资者的利益和政府的财政支付能力等因素考虑, 青荣轻轨交通线的票价应与其他公共交通工具的票价有合理的比例,这样既能体现青荣轻轨交通线项目的方便、快捷和环保的优势,又能吸引大量的客流,从而创造可观的经济效益和社会效益。所以我们可以结合运量、成本、社会福利等因素来建立数学模型对票价水平进行研究。建立合理的数学模型，并通过建模分析的结果，给相关部门提出具体建议。3.模型假设（1）忽略不同地区产业结构不同差异的影响。（2）假设我国经济保持现阶段的健康稳定成长。（3）调查数据是真实可信的统计数据。（

8、4）引用文献中讨论的问题科学合理，能够反应我国的现实情况。（5）用数据解决问题时，假设这些数据的不合理程度在误差允许的范围之内，即不4合理程度不致过大。（6）当青荣轻轨运营后其出行时间及舒适、安全、方便等属性固定不变。（7）所制定的最优票价即为运营票价。（8）青荣轻轨在所有时段(高峰期和非高峰期)的边际成本一样。4.符号说明：青荣轻轨交通线的客票收入；1QM：运营成本函数；)(C：社会福利；w：快速交通工具的边际成本；mc：价格需求弹性系数；：拉姆齐系数；：出行中乘青荣轻轨的广义效用函数；1c：普通列车的广义效用函数；2c3 ：公共汽车的广义效用函数；：第 ( ,3)种交通工具的旅行时间；kT

9、2,1k: 第 种交通工具的票价；M)3: 第 种交通惩罚因子；k,(k、 、 :为待定系数；1a23：乘客选择第 种交通工具的概率；kpk)3,21(：交通工具的种类(这里只考虑城市快速交通工具和公共汽车)；N：为调节参数；：乘坐快速交通工具的概率；1p：乘坐快速交通线工具的客流量；Q：总客流量为；：最优票价；*1M5：客票收入；R：快速交通线项目运营成本；1C：客运量年平均增长率；i：预测年度与最近度的时间间隔年数；1N：客运量统计数据的最近年度与最远年度之间的时间间隔；n5.模型的建立与求解5.1 拉姆齐模型的建立5.1.1 定性分析由于青荣轻轨交通线项目巨额的固定成本导致其平均成本要比

10、边际成本高很多,如果采用边际成本定价,虽然能够实现资源的利用率最大,但企业会出现巨额的亏损,还将导致快速交通过于拥挤.如果采用盈亏平衡定价,又会超出居民的承受能力,不能起到预期的功能。因此必须寻求既不使国铁出现赤字又能够满足公众利益的定价方式,即在收支平衡的约束下追求社会福利的最大化。在西方通常采用拉姆齐定价法 。15.1.2 定量分析拉姆齐定价的基本思路是:既然边际成本定价会造成企业亏损和政府负担过重而不能采用，那至少应该限制企业的超额利润但又要使其盈亏相抵，收支平衡。这样按平均成本确定的价格仍然可以使社会福利达到次优。其推导过程如下:已知青荣轻轨交通线的客票收入为 ,运营成本函数为 ,则收

11、支平1QM)(1QC衡条件: 。由经济学知识 :社会福利函数0)(1QCM2,所以要在收支平衡条件的约束下实现福利的最大化,)(dw可根据拉格朗日乘数法求得:（1）)()()( 11111 QCMCF对 关于 式求导并令其为零有:Q（2）0)()( 11111 MW6选择交通方式价格 旅行时间 舒适程度 安全公路 铁路 轻轨已知青荣轻轨交通线的边际成本 ,需求价格弹性 ,则)(1QCmc1MQ式可化简为:)2(（3） 11Mc令 ,则 式变为: 1)3(1mc)4(式中 为拉姆齐系数 ,即对边际成本价格打一定折扣或给予一定加成的系数。3由上所推得的 式即为拉姆齐定价模型。因此可根据拉姆齐定价模

12、型在求得相应的)4(边际成本 、需求价格弹性系数 和拉姆齐系数 时由（4）式求得价格mc4。M15.2 用层次分析法 预测出人们选择乘坐青荣轻轨的概率 5根据青荣轻轨周边地区的经济发展水平，对公共汽车、火车和轻轨高速列车的选择有四个标准：时间、价格、舒适程度、安全，构成如下层次分析模型：图 5.1 层次分析模型图5.2.1 构成成对比较矩阵7比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重 aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则 称为成对比较矩阵。 成对比较矩阵中 aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。 aij在 1-9 及其倒数

13、中间取值。因素比因素 量化值同等重要 1稍微重要 3较强重要 5强烈重要 7极端重要 9两相邻判断的中间值 2，4，6，8表 5.1 Satty 尺度表得第一层的成对比较矩阵：135751A5.2.2 做一致性检验由第一层的比较矩阵求出 A 的归一化特征向量以及最大特征值： T2,0.958)37,.(0.4562,.W4max由RIC8Satty 对于不同的 n，用 100-500 个样本 A 算出的随机一致性指标 RI 的数值如下：矩阵阶数n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51表 5.2 RI 数值表由以上两式求得: 1.074.CR一致性检验通过，上述 w 可作为权向量。5.2.3 层次总排序分别比较准则层各元素之间的关系得成对比较矩阵，设它们为： ， ， 1B23， 4B131B172B