1、 同底指数函数与对数函数图象交点个数 必修一教材第 76 页有这样一个探究：指数函数 )10( aaay x 且 与对数函数)10(lo g aaxy a 且互为反函数，那么它们图象有什么关系 呢？ 通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线 xy 对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？ 这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定 .下面我们一起来研究下 . 分 1a 和 10 a 两者情况进行讨论 . 1. 当 1a 时 在几何画板中，画出 xy 2 与 xy 2log 图象，发现它们没有公共点 （如图 1） .
2、 当底数 a )1( a 逐渐变小时， )1( aay x 与 )1(log axy a 图象与 xy 逐渐接近，然后相切 （如图 2） ，再相交 （如图 3） ，而且我们清楚地看到 它们 交点在 xy 上 . 图 1 图 2 图 3 事 实 上 ， 由 反 函 数 图 象 对 称 性 知 ， 确 实 如 此 ， 所 以 研 究 )1( aay x 与)1(log axy a 图象交点情况即研究 )1( aay x 与 xy 图象交点情况 . 下面，我们从“临界状态”入手研究， 从代数角度看只需联立方程 0 xaxy ay xx让方程只有一个根即可，属于 超越方程，无法用常规方法解，利用导数
3、（选修 2-2 中知识）解法如下： 1ln1ln1ln1 11 xxxaaxaa xa xxxxx ee eaeaex 1, 即得 所以，当 eea 1 时， 函数 xay 与 xy alog 图象与 xy 相切 . 根据指对数函数单调性以及以上分析得： 当 eea 1 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 0 个交点； 当 eea 1 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 1 个交点； 当 eea 11 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 2 个交点 . 2. 当 10 a 时 同样地，我们也在几何画板中画出 xy 21与 xy21log图象，发现它们有一个交点（如
4、图 4） . 当底数 a )10( a 逐 渐 变 小 时 ， 我 们 惊 奇 地 发 现 )10( aay x 与)10(lo g axy a 图象出现了 3 个交点 （如图 5） . 图 4 图 5 由 函 数 的 单 调 性 和 连 续 性 知 ， 当 10 a 时， )10( aay x 与)10(lo g axy a 图象不可能相切，所以交点情况只有 1 个或者 3 个 . 同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的 a 的值，类似的，我们得到以下结论： 当 1 ae a 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 1 个交点； 当 aea 0 时，函数 xay 与 xy alog
5、图象有 3 个交点 . 综上所述， 当 eea 1 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 0 个交点； 当 eea 1 或 1 ae a 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 1 个交点； 当 eea 11 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 2 个交点； 当 aea 0 时，函数 xay 与 xy alog 图象有 3 个交点 . 微练习： 1下列命题 若点 ）（ nm, 在函数 xay 图象上，则点 ）（ mn, 在函数 xy alog 图象上 当 1a 时，函数 xy alog 的图象与直线 xy 无公共点 若点 ）（ nm, 既在函数 xay 图象上，也在函数
6、 xy alog 图象上，则 nm 当 10 a 时，函数 xay 的图象与直线 xy 有且只有一个公共点 其中正确的命题的个数为（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2已知 1a ,则方程 |log| xa ax 实根的个数为（ ） A 1 个 B 2 个 C 1 个或 2 个 D 1 个或 2 个或 3 个 3已知 10 a ，则方程 |log| xa ax 的实根的个数为（ ） A 2 个 B 3 个 C 2 个或 3 个 D 2 个或 4 个 【答案】 1.由反函数图象 对称性知正确；当 1a 时， 函数 xy alog 的图象与直线 xy 可能有 0 个或 1 个或
7、 2 个交点 ，所以错误 ； 当 10 a 时，函数 xay 与 函数 xy alog 交点有 3 个时，其中 2 个不在 xy 上，所以错误； 当 10 a 时，函数 xay 与直线只有一个交点，所以正确 .故选 C. 2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数 xay 与 函数 xy alog 图象交点个数，而 xy alog 是把 xy alog 图象在 x 轴下方部分 作关于 x 轴对称，又因为当 1a 时，函数 xay 与 函数 xy alog 图象交点可能有 0 个或 1 个或 2 个， 所 以 |log| xa ax 实根个数可能是 1 个或 2 个或 3 个， 故选 D. 3.当 10 a 时，方程 |log| xa ax 在区间 ）（ 1,0 内实根个数是 1 个或 3 个，在区间 ，1内的实根个数为 1 个，所以 10 a 时，方程 |log| xa ax 实根个数为 2 个或 4 个，故选D.
