1、 第六章 样本与抽样分布 6.1 数理统计的基本概念 一数理统计研究的对象 例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量 ,设寿命用 X 表示。 (1)若规定寿命低于 1000 小时的产品为次品。此问题是求P(X1000)=F(10000),求 F(x )? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求 E(x )?、 D(x )?。 要解决二个问题 1试验设计抽样方法。 2数据处理或统 计推断。 方法具有“从局部推断总体”的特点。 二 .总体（母体）和个体 1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。 说明： (1) 对总体我们关心的是研究对象的
2、某一项或某几项数量指标 (或属性指标 )以及他们在整体中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。 (2)为研究方便将总体与一个 R.V X对应 (等同 )。 a. 总体中不同的数量指标的全体，即是 R.V.X 的全部取值。 b. R.V X 的分布即是总体的分布情况。 例：一批产品是 100 个灯泡，经测试其寿命是： 1000 小时 1100 小时 1200 小时 20 个 30 个 50 个 X 1000 1100 1200 P 20/100 30/100 50/100 (设 X 表示灯泡的寿命 )可知 R.V.X 的分布律， 就是总体寿命的分布，反之亦然。 常称总体 X，若 R.VX F(
3、x )，有时也用 F(x )表示一个总体。 (3)我们对每一个研究对象 可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（ X,Y,Z, ）去描述总体。 2.总体的分类 有限总体 无限总体 三简单随机样本 . 1.定义 6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。 取得子样的过程叫抽样。 样本的双重含义： (1)随机性： 用 ( X1， X2 , Xn ) n 维随机向量表示。 Xi 表示第 i 个被抽到的个体，是随机变量。（ i=1,2, n） (2)确定性： (x 1 ,x 2 , x
4、 n )表示 n 个实数，即是每个样品 Xi 观测值 x i (i=1,2, n)。 2.定义 6.2： 设总体为 X，若 X1 ,X2 Xn 相互独立且与 X 同分布，则称（ X1 ,X2 Xn ）为来 自总体 X 的容量为 n的简单随机样本（简称样本）。 3.已知总体的分布写出子样的分布 (1)已知总体 X F(x ),则样品 Xi F(x i ) i=1,2 n样本（ X1 ,X2 Xn ）的联合分布为： F(x 1,x 2 x n )=P(X1 x 1 ,X 2 x 2X n x n) =ni1P(X x i ) =ni1F(x i ) 若总体 X f( x ),样品 X i f( x
5、 i ) i=1,2 n 样本（ X1 ,X2 Xn ）的联合密度是 ： f( x 1 , x 2 x n )=ni1f(x i ) 例 :总体 X N( ), 2 ，写出该总体样本（ X1 ,X2 Xn ）的 联合密度。 (2)若总体 X 是离散型随机变量，一般给出分布律： P(X= x k) = pk. k=1,2 要 写 出 概 率 函 数 f( x ) 即f( x )=P(X= x k)=ikp ik =1,2. , ni ,. ,2,1 例 : 总体 X ()写出该总体样本(X1,X2,X n)的联合概率函数 例： 总体 X B(1,p)， 0p1 写出其样本 （ X1 ,X2 ,X
6、 n ）的联合概率函数。 四 经验分布函数与直方图 1.样本的经验分布函数 (1)定义：设 (x 1, x 2, x n)是来自总体X 的一组样本值。将它们按由小到大排序为： x 1x 2 x i x n 对任意的实数 x， 定义函数： Fn (x)=xxnkxxxnkxxnkk11,. .2,1011则称 Fn (x )为总体 X的经验分布函数。 (2) 格列文科定理 : 设总体 X 的分布函数、经验分布函数分别为 F(x )、 Fn(x ),则有： P 0)()( XFxFS u pLi m nxn=1 上式表明，当 n ，概率为 1 的有F )(xn 均匀地趋于 F(x )。 2 总体的概率密度的估计 直方图 （第一版） p143 例 6.3 可以用 SAS 下的 interactive data analysis 模块演示。
