多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法 1一、多元函数的极值和最值 1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近 将函数值比大小. 定义 点P 0 为函数的极大值点. 类似可定义极小值点和极小值. 设在点P 0 的某个邻域, 为极大值. 则称 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 2 注 函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 多元函数的极值也是局部的, 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值. 有时, 极值. 极值点. 内的值比较. 是与P 0 的邻域 极小值可能比极大值还大. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 3例 函数 存在极值, 在(0,0)点取极小值. 椭圆抛物面 在简单的情形下是 容易判断的. 函数 (也是最小值). 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 4例 例 在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 在(0,0)点无极值. 下半个圆锥面 马鞍面 函数 函数 52.极值的必要条件 定理1(必要条件) 则它在该 点的偏导数必然为零: 多元函数的极值与拉格朗日乘数
