大学概率论与数理统计复习资料.doc

1、第一章 随机 事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 )()()()()()2( 加法定理ABPBPAPBAP ),()()( 2111有限可加性两两互斥设 nni ini iAAAAPAP ),(0)()()()()(互不相容时独立时与BAABPBABPAPABP)()()()()5( ABPAPBAPBAP )()()()()( 时当 ABBPAPBAPBAP )0(,()()/()()()6(211 inniiiAPAAAABPAPBP且的一个划分为其中全概率公式),()(11)( 2111相互独立时nni ini iA

2、AAAPAP )/()()/()()()4( BAPBPABPAPABP )(/)()/()3( APABPABP )()/()()/()()/()7(1逆概率公式 niiiiiiABPAPABPAPBAP)(/)()(/)()1( SLALAPnrAP 应用举例 1、 已知事件 ,AB满足 )()( BAPABP ，且 6.0)( AP ，则 )( BP （ ）。 2、 已知 事件 ,AB相互独立， ,)( kAP 6.0)(,2.0)( BAPBP ，则 k（ ）。 3、 已知 事件 ,AB互不相容， ,3.0)( AP )(,5.0)( BAPBP 则 （ ）。 4、若 ,3.0)( A

3、P )(,5.0)(,4.0)( BABPBAPBP （ ）。 5、 ,ABC 是三个随机事件， CB ，事件 A C B 与 A 的关系是（ ） 。 6、 5 张数字卡片上分别写着 1， 2， 3， 4， 5， 从中任取 3 张，排成 3 位数，则排成 3 位奇 数的概率 是（ ） 。 7、 某人下午 5:00 下班。他所积累的资料表明： 到家时间 5:305:40 5:405:50 5:506:00 6:00 以后 乘地铁 0.3 0.4 0.2 0.1 乘汽车 0.2 0.3 0.4 0.1 某日他抛一枚硬币 决定乘地铁还是乘汽车 。 （ 1） 试求他 在 5:405:50 到 家的概率

4、 ； （ 2） 结果他是 5:47 到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解 （ 1） 设 1A =他是乘地铁回家的 ， 2A =他是乘汽车回家的 ，iB =第 i 段时间到家的 ， 4,3,2,1i 分别对应时间段5:305:40， 5:405:50， 5:506:00， 6:00 以后 则由全概率公式有 )|()()|()()( 2221212 ABPAPABPAPBP 由上表可知 4.0)|( 12 ABP ， 3.0)|( 22 ABP ， 5.0)()( 21 APAP 35.05.03.04.05.0)( 2 BP （ 2） 由贝叶斯公式 7435.0 4.05.0)( )()|(

5、2 2121 BP BAPBAP8、 盒中 12 个新乒乓球，每次比赛从中任取 3 个来用 ，比赛后仍放回盒中，求 ： 第三次比赛时取到 3 个新球的概率 。 看作业习题 1: 4, 9, 11, 15, 16 第二章 随机变量及其分布 知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质 连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布 重要 内容 ）（ Rxxf 0)( )()()(1 2121 xFxFxxxF 单调递增，即）（1)(lim)(0)(lim)(2xFFxFFxx）（)()0()(3 xFxFxF 右连续，即）（RxxF 10)4( ）（1i ip2分布律的性质 .

6、. . )2,1(,10 ip i1.分布函数的性质 （ 1） 非负性 （ 2） 规范性 3.分布密度函数的性质 1)( dxxf（ 1） 非 负性 （ 2） 规范性 4. 概率计算 5.常用分布 ）（或泊松分布 PXX )()0, . . . ;1,0(,!)( kekkXP k1 2 2 1( ) ( ) ( )P x X x P X x P X x )()( aFaXP )0()()( aFaFaXP 21)()( 21xxdxxfxXxP0)0()()( aFaFaXPadxxfXaP )()(adxxfaXP )()(为连续型随机变量：X),(, pnbXpnBX ）或（记为二项分布

7、 : ), . . .1,0(,)( nkqpCkXP knkkn 条件：较大且很小泊松定理 )(,!)1( npekppCkknkkn ，其他均匀分布0,1)(),(bxaabxfbaUX ，其他指数分布0)0(,0,)()( xexfEXx),(,21)(),(222)(2xexfNXx正态分布 xxF )(5.0)0()1( )(1)()2( xx 73.993|%45.952|%27.681|XPXPXP应用举例 1、 设 2( ) ( 0)xf x ke x是某随机变量的密度函数，则 k （ ）。 2、 设随机变量 X 的概率密度为 )22(,c o s21)( xxxf ， 则)0

8、1( XP （ ）。 3、 设随机变量 X 的 分布函数 为.,1,1,ln,1,0)(exexxxxF 则 )2( XP =（ ）。 4、设 ),( 2NX ,满足 )1()1( XPXP 的参数 （ ）。 5、 离散型随机变量 X 的分布律为 11( ) ( 1, 2 , 3 )!P X k kck ，则 c =（ ） 。 6、 土地粮食亩产量（单位： kg） )60,360( 2NX .按 亩产量高低将土地 分成等级 .若 亩产量高于 420kg 为一 级， 在 360420kg间为二 级 ， 在 315360kg 间 为 三等 ， 低于 315kg 为四 级 .求等级 Y 的概率分布。

9、 ( 5.0)0( , 8413.0)1( , 7734.0)75.0( ) 解 3 1 543 6 03 1 534 2 03 6 024 2 01XXXXY 7、 110 在长度为 t 的时间 (单位： h)间隔内收到的紧急 呼救的次数 X 服从参数为 t21 的泊松分布 ,而与时间间隔的起点无关 .求某一天中午 12 时至下午 3 时至少收到 1 次 呼救的概率。 解 X 的分布律为 ),2,1,0(! )2()( 2 kk tekXP kt中午 12 时到下午 3 时，表明 3t 求 )1( XP 8、 一批产品由 8 件正品、 2 件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出

10、的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数 X 的分布律。 解 X 所有可能的取值为 1,2,3 iA =第 i 次取到正品 （ 3,2,1i ） 看作业习题 2: 4， 7, 17， 20， 24， 26, 27， 28 第三章 多维随机变量及其分布 知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的 分布（包括边际分布） 随机变量的独立性 二维常用分布 内容提要 1.概率分布的性质 2.二维概率计算 3.边际密度函数计算 4.常用分布 ,2,1,0 jip ij离散型非负性11 1 i jijp归一性1),( d x d yyxf连续型归一

11、性 ;),()( dyyxfxf X dxyxfyf Y ),()( ( , ) ( , )GP X Y G f x y d x d y 其他），（），（均匀分布01 DyxAyxf二维正态分布 5.随机变量的独立性 6.正态分布的可加性 )()(),( yFxFyxF YX ),2,1,( jippp jiij)()(),( yfxfyxf YX 21221211 ( , ) ( 1 , 2 ), , , ( , )i i innnn i iiiN i nN 设且 相 互 独 立 则),(),( 222211 NYNX),(),( 222121 NYX应用举例 1、 设 YX, 的密度函数

12、其他,0 0,0, 2 yxkeyxf yx则 k =（ ）。 2 、 设 离 散 型 随 机 变 量 ( , )XY 的 联 合 分 布 律 为( , ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 )1 / 6 1 / 9 1 / 1 8 1 / 3XYP 且 YX, 相互独立，则（ ）。 3、 某箱中有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 70、20、 10 件，现从中随机的抽取一件，记 等品抽到其它 iX i 10 ， 3,2,1i求 （ 1） 1X 和 2X 的联合分布律 ；（ 2）并求 )( 21 XXP 。 4、 设随机变量 ),( YX 在曲线 xy ， xy 围成的区域 D 里服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。 5、 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为 其它01421),( 22 yxyxyxf 求 )( XYP 6、 设随机变量 321 , XXX 相互独立，并且均服从正态分布3,2,1),( 2 iNX iii ，则 31 )(i iii bXaX（ ）。 看作业习题 3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10， 11,12,13,18