1、第 4章 自动控制系统的根轨迹4.1 根轨迹概念4.2 根轨迹增益及根轨迹方程4.3 根轨迹绘制的基本法制4.4 使用 MATLAB绘制根轨迹4.5 根轨迹与系统性能的关系4.6 广义根轨迹根轨迹概念 根轨迹 (Root Locus)描述的是一个系统的某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在平面内变化的轨迹根轨迹法是欧文斯（ W. R. Evans）于 1948年在 “控制系统的图解分析 ”一文中提出的，它是一种求解闭环特征方程根的图解方法 根轨迹增益 控制系统的一般框图如下图所示： 不失一般性，很容易得到其开环传递函数为： 上式中， 被称为 根轨迹增益 (Root Locus Gain
2、) 根轨迹方程 根轨迹方程包括两部分，分别为幅值方程和相角方程幅值方程相角方程根轨迹绘制的基本法则 法则一 根轨迹的起点是开环传递函数的极点，根轨迹的终点是开环传递函数的零点法则二 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m和有限极点数 n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴 法则三 实轴上的根轨迹右侧的极点和零点数之和为奇数 法则四趋向无穷远的根轨迹的渐进线与实轴的夹角为： 根轨迹的渐进线与实轴的交点坐标为：法则五实轴上根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支点在 S平面上相遇又立即分开的点，称为分离点，分离点的坐标 d是下列方程的解： 式中， 为各开环零点的数值； 为各开环极点的数值
3、这些根轨迹在分离点上的分离角为： 式中， 为进入并立即离开分离点的根轨迹条数 法则六根轨迹离开复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角，以 表示。这些角度可按照如下的关系求出： 及法则七条件稳定系统的根轨迹与虚轴相交，其交点满足： 条件稳定系统是指某个参数或某些参数在一定范围内时闭环稳定，超出范围时闭环不稳定的系统。在这里则理解为增益在某些范围内使闭环系统稳定，否则就使闭环系统不稳定 若根轨迹与虚轴相交，则交点上的根轨迹增益 值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零求得 法则八当 时，无论 取何值，开环 个极点之和总是等于闭环特征方程 个根之和
