1、本科毕业论文本科毕业论文题 目 浅谈实数的完备性 专 业 信息与计算科学 作者姓名 唐星星 学 号 2013201334 单 位 数学科学学院 指导教师 张冬梅 2017 年 5 月教 务 处 编聊城大学本科毕业论文原创性声明本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名： 日期： 指 导 教 师 签 名: 日期： 聊城大学本科毕
2、业论文目录摘要 .3Abstract.4前言 .11实数完备性定理在数学分析中所占的地位 .22. 实数集的完备性 .23实数六个基本定理的描述和证明 .331 闭区间套定 .332确界的叙述 .433 有限开覆盖 .6定理 3（有限覆盖定理） .6聚点的定义 .7定理 4（聚点定理） .735 致密性定理 .836 柯西收敛准则 .837 单调有界定理 .104实数循环定理的证明 .1041 确界定理 闭区间套定理 .1042 区间套定理 有限覆盖定理 .1043 有限覆盖定理 聚点定理 .1144 聚点定理 致密性定理 .1145 致密性定理 柯西收敛准则 .1147 单调有界 确界定理
3、.125.实数的完备性的发展状况 .136实数完备性定理过程中的一些注示 .1361 关于实数完备性定理的循环证明过程 .1362 关于实数完备性定理的起点 .14参考文献 .16致谢 .17聊城大学本科毕业论文摘要本文主要是叙说实数的完备性定理和它的证明以及在数学上所占的地位，对今后数学发展起到怎么样的作用；实数完备性六个相互定理的证明它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，都可以相互证明关键词：实数的完备性定理；等价性；循环证明；实数基本定理聊城大学本科毕业论文AbstractThis article is about the completeness of the real numbe
4、rs on the theorem and its proof in mathematics and the status of, how are mathematics play a role in the future; proving theorems in real number completeness in six mutual . They are equivalent to each other, that is, any two theorems, can be provedKey words：Real completeness theorem equivalence; cy
5、cle proof real fundamental theorem聊城大学本科毕业论文前言数 学 分 析 的 基 础 是 实 数 理 论 。 对 于 实 数 系 而 言 最 关 键 的 属 性 即 完 备 性 与 连 续 性 ， 拥有 这 两 种 属 性 ， 才 可 以 对 于 极 限 ， 连 续 ， 微 分 和 积 分 展 开 深 入 探 究 讨 论 。 正 是 在 对 于 函 数 的 各 种极 限 运 算 加 以 探 讨 的 过 程 里 ， 人 们 开 始 逐 步 构 建 其 严 密 的 数 学 分 析 理 论 体 系 。聊城大学本科毕业论文浅谈实数的完备性1实数完备性定理在数学分析中所
6、占的地位实数集的连续性是实数集区别于有理数集的一个重要特征，是实数集其中的优点，而实数完备性又是数学分析中的一个基础，再加上数学分析是数学专业的必修课程之一实数域的完备性是人们经过长期的探索与研究里一步步总结认识的，它是所有函数分析理论的本质基础，由此获得了极限论、微积分学等许多重要的数学成果数学分析的基础是实数理论对 于 实 数 系 而 言 最 关 键 的 属 性 即 完 备 性 与 连 续 性 ，拥 有 这 两 种 属 性 ， 才 可 以 对 于 极 限 ， 连 续 ， 微 分 和 积 分 展 开 深 入 探 究 讨 论 。 正 是 在 对 于 函 数 的 各种 极 限 运 算 加 以 探
7、 讨 的 过 程 里 ， 人 们 开 始 逐 步 构 建 其 严 密 的 数 学 分 析 理 论 体 系 ，不仅只是在数学分析中谈论到，还在实变函数中进一步研究过2.实数集的完备性对于实数的完备性，几位著名数学家基于各个视角，采取多种方法加以阐述；在刘玉莲所写的课本数学分析中分别列出了实数完备性定理的六个基本定理，而这六个定理分别是 1、闭区间套定理 2、确界定理 3、有限覆盖定理 4、聚点定理 5、致密性定理 6、柯西收敛准则，它们是基本等价的可以出现循环证明及应用，在以后得数学中起到很大的作用；我也是参照他的书定理开始证明，并用另一种顺序开始证明的，以此来说明它们的等价关系以及六个定理的重
8、要性聊城大学本科毕业论文3实数六个基本定理的描述和证明31 闭区间套定311 定理 1（闭区间套定理） 设有闭区间a ，b 若n1)a ，b a ，b a ，b ;2.n.2) (b -a ) =0nlimn则存在唯一的实数 是属于所有的闭区间（即 a ，b = )，且l1nnl(3.1.1)limali证明 由条件 1）可知， 数列 为递增并且是有界的数列， 由单调有界定理可知，n有极限 ，且有 ，( )nalnal.3,21同理，递减并且有界的数列 也是有极限，并按区间套的条件 2）可有nblimanlinbl且 ， bnl.3,21综上，可得 ， annbl.3,21下面证明满足 ， 的
9、 是唯一的 .,l设数 也满足 ， lanlnb.3,21则由 ； 可以有 - ，nb.3,21lnba.3,21由区间套的条件 2）得 - (3.1.2)lnimbna0故有 l注 区间套定理里的闭区间如果更改成开区间的话， 则结论就将出现改变，并不必然成立 例如对于聊城大学本科毕业论文开区间列 ，显然可得 是不存在的n1,0l32确界的叙述 定义一 设 是非空数集，若存在 ，且ER对于任意 ，有 ;2)任意 ，存在 ，有 - 则称 是数集x00xE0x的上确界，记为 sup定义二 设 是非空数集，若存在 ，且ER1）对于任意 ，有 ；xx2）对于任意 0，存在 ，有 则称 是 的下确界，记
10、0E0E为 infE定理 2（确界定理）如果非空数集 存在上界（下界），那么数集 具有唯一的上确界（下确界）证 我们仅需要对于上确界的结论加以证明，下确界的结论能够采用相同的原理加以证明出来为了便于叙述，我们能够假定集合 存在有非负数因为集合 是存在上界，因此能EE够找到一个非负整数 ，使得n对于任何 有 ;1x1n存在 ，使 20aE0把半开区间 平均分成 等分，分点为 ，则在 中存在一个数,n 9.,2.,n ,2109，使得1n对于任何 有)Ex210.n存在 ，使22a2继续将其平均分为 个等分点，则在上一步骤里得获得的半开区间，能够得出对于任何存10在 中的 个数 ，都会使得9,10
11、 kn聊城大学本科毕业论文对于任何 有)1xEkn10.21存在 ，使 2ka.ka将上面的步骤无限地继续进行下去，可以得出一个实数 .21 kn以下证明 (3.2.1)supE因此只需要证明：1) 对一切 有 ；Ex2)对任何 ，存在 使 a如果结论 1)不成立，即存在 使 ，那么可找到 的 位不足近似 ，xxkkx使 ， （3.2.2）kxkn21.0从而得， （ 3.2.3）knx10.21然而此和不等式 存在矛盾因此 1)得证)(现在假定 ，那么存在一个数 使 的 位不足以近似 ，即kk， （3.2.4）kn21.根据数 的构造，存在 使 ，从而有 Eka(3.2.5)k即得到 ，这说明 2)成立a注 如果数集 有上界，那么它有无数个上（下）界，在这些无限多个上（下）界当E中，有个上（下）界和数集 会存在一种特殊的关系
