1、智浪教育-普惠英才文库第二十三届全国中学生物理竞赛初赛试题及答案本卷共本题，满分 200分一、(20 分，每小题 10分)1.如图所示，弹簧 S1的上端固定在天花板上，下端连一小球 A，球 A与球 B之间用线相连.球 B与球 C之间用弹簧 S2相连.A、B、C 的质量分别为 mA、m B、m C，弹簧与线的质量均可不计.开始时它们都处在静止状态.现将 A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时 A、B、C 的加速度.2.两个相同的条形磁铁，放在平板 AB上，磁铁的 N、S 极如图所示.开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动.(i)现将 AB突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触)，并使之停在
2、 AB处，结果发现两个条形磁铁碰在一起.(ii)如果将 AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在 AB位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起.试定性地解释上述现象.二、(20 分，第 1小题 12分，第 2小题 8分)1.老爷爷的眼睛是老花眼.(i)一物体 P放在明视距离处，老爷爷看不清楚.试在示意图 1中画出此时 P通过眼睛成像的光路示意图.(ii)戴了一副 300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体 P，试在示意图 2中画出 P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图.(iii)300 度的老花镜的焦距 f=_m.智浪教育-普惠英才文库2.有两个凸透镜，它们的焦距分别为 f1和 f2，
3、还有两个凹透镜，它们的焦距分别为 f3和 f4.已知，f1f 2|f 3|f 4|.如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_的透镜作为物镜，应选焦距为_的透镜作为目镜.三、(20 分，第 1小题 12分，第 2小题 8分)1.如图所示，电荷量为 q1的正点电荷固定在坐标原点 O处，电荷量为 q2的正点电荷固定在 x轴上，两电荷相距 l.已知 q2=2q1.(i)求在 x轴上场强为零的 P点的坐标.(ii)若把一电荷量为 q0的点电荷放在 P点，试讨论它的稳定性(只考虑 q0被限制在沿 x轴运动和被限制在沿垂直于 x轴方向
4、运动这两种情况).2.有一静电场，其电势 U随坐标 x的改变而变化，变化的图线如图 1所示.试在图 2中画出该静电场的场强 E随 x变化的图线(设场强沿 x轴正方向时取正值，场强沿 x轴负方向时取负值)四、(20 分)一根长为 L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中，大气的压强与 H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长 LH.现把细管弯成 L形，如图所示.假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成 L形时，以 l表示其竖直段的长度，问 l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你
5、的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示).智浪教育-普惠英才文库五、(20 分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中的正电子与负电子都以速率 v绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量 m、速率 v和正、负电子间的距离 r的乘积也满足量子化条件.即 式中 n称为量子数，可取整数值1，2，3，；h 为普朗克常量.试求电子偶素处在各定态时的 r和能量以及第一激发态与基态能量之差.六、(25 分)如图所示，两个金属轮 A1、A 2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属轴 O1和 O2转动，O 1和 O2相互平行，水
6、平放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A 1轮的辐条长为 a1、电阻为 R1，A 2轮的辐条长为 a2、电阻为 R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略.半径为 a0的绝缘圆盘 D与 A1同轴且固连在一起.一轻细绳的一端固定在 D边缘上的某点，绳在 D上绕足够匝数后，悬挂一质量为 m的重物 P.当 P下落时，通过细绳带动 D和 A1绕 O1轴转动.转动过程中，A 1、A 2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为 R的电阻相连.除 R和 A1、A 2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计.整个装置处在磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向
7、与转轴平行.现将 P释放，试求 P匀速下落时的速度.七、(25 分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为 R，圆筒的轴线在 O处.圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为 B.筒壁的 H处开有小孔，整个装置处在真空中.现有一质量为 m、电荷量为 q的带电粒子 P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒.设：筒壁是光滑的，P 与筒壁碰撞是弹性的，P 与筒壁碰撞时其电荷量是不变的.若要使 P与筒壁碰撞的次数最少，问：1.P 的速率应为多少？2.P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？八、(25 分)图中正方形 ABCD是水平放置的固
8、定梁的横截面，AB 是水平的，截面的边长都是 l.一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在 A点，另一端系一质量为 m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B点使小球处于 C点.现给小球一竖直向下的初速度 v0，使小球与 CB边无接触地向下运动，当 ，分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？1.2.设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的.智浪教育-普惠英才文库九、(25 分)从赤道上的 C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为 R的球体，R=6400km.已知质量为 m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E与椭圆半长轴 a的关系
9、为 式中M为地球质量，G 为引力常量.1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O到发射点C的连线之间的夹角表示).2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3.试导出 .参考答案及评分标准一、参考解答：1.线剪断前，整个系统处于平衡状态.此时弹簧 S1的弹力 F1=(mA+mB+mC)g (1)弹簧 S2的弹力 F2=mCg (2)在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故 F1、F 2的大小尚未变化，但线的拉力消失.设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、a B、a C，则有F 1-mAg=mAaA (3)F 2+mBg=mB
10、aB (4)F 2-mCg=mCaC (5)解以上有关各式得，方向竖直向上 (6)，方向竖直向下 (7)a C=0 (8)2.开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡.智浪教育-普惠英才文库(i)从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段.起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动.在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小.向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向
11、运动并吸在一起.接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在 AB处.在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变.(ii)从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶.起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动.接着，磁铁和板一起作加速度力减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时，最大静
12、摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.评分标准：(本题 20分)1.10 分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各 1分，a A、a B的方向各 1分.2.10 分.(i)5 分，(ii)5 分.(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这 5分，否则不给分).二、参考答案1.(iii)2.f 1，f 4.评分标准：(本题 20分)1.12 分.(i)4 分，(ii)4 分，(iii)4 分.2.8 分.两个空格都填对，才给这 8分，否则 0分.三、参考解答：智浪教育-普惠英才文库1.(i)通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的 P点只可
13、能位于两点电荷之间.设 P点的坐标为 x0，则有(1)已知 q2=2q1 (2)由(1)、(2)两式解得(3)(ii)先考察点电荷 q0被限制在沿 x轴运动的情况.q 1、q 2两点电荷在 P点处产生的场强的大小分别为方向沿 x轴正方向方向沿 x轴负方向由于 处合场强的方向沿 x轴的正方向，即指向 P点.由以上的讨论可知，在 x轴上，在 P点的两侧，点电荷 q1和 q2产生的电场的合场强的方向都指向 P点，带正电的点电荷在 P点附近受到的电场力都指向 P点，所以当 q00 时，P 点是 q0的稳定平衡位置.带负电的点电荷在 P点附近受到的电场力都背离 P点，所以当 q00 时，P 点是 q0的
14、不稳定平衡位置.再考虑 q0被限制在沿垂直于 x轴的方向运动的情况.沿垂直于 x轴的方向，在 P点两侧附近，点电荷 q1和 q2产生的电场的合场强沿垂直 x轴分量的方向都背离 P点，因而带正电的点电荷在 P点附近受到沿垂直 x轴的分量的电场力都背离 P点.所以，当 q00 时，P 点是 q0的不稳定平衡位置.带负电的点电荷在 P点附近受到的电场力都指向 P点，所以当 q00 时，P 点是 q0的稳定平衡位置.智浪教育-普惠英才文库2.评分标准：(本题 20分)1.12 分.(i)2 分.(ii)当 q0被限制在沿 x轴方向运动时，正确论证 q00，P 点是 q0的稳定平衡位置，占 3分；正确论
15、证q00，P 点是 q0的不稳定平衡位置，占 3分.(未列公式，定性分析正确的同样给分)当 q0被限制在垂直于 x轴的方向运动时，正确论证 q00，P 点是 q0的不稳定平衡位置，占 2分；正确论证 q00，P 点是 q0的稳定平衡位置，占 2分.2.8 分.纵坐标标的数值或图线有错的都给 0分.纵坐标的数值.图线与参考解答不同，正确的同样给分.四、参考解答：开始时竖直细管内空气柱长度为 L，压强为 H(以 cmHg为单位)，注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短.当管中水银柱长度为 x时，管内空气压强 p=(H+x)，根据玻意耳定律，此时空气柱长度 (1)空气柱上表面与管口的距离 (2)开
16、始时 x很小，由于 LH，故 即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止.何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论.1.水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管此时水银柱的长度 xl，由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL (3)智浪教育-普惠英才文库由(3)式可得 x=L-H (4)由此可知，当 lL-H 时，注入的水银柱的长度 x的最大值 xmax=L-H (5)2.水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管此时注入水银柱的长度 xl，由玻意耳定律有(H+l)(L-x)=HL (6)(7)(8)由(8)式得 lL-H，或 LH+l (
17、9)(10)即当 lL-H 时，注入水银柱的最大长度 xx max.由上讨论表明，当 lL-H 时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为 xmax，即(5)式.评分标准：(本题 20分)正确论证 lL-H 时，可注入的水银量最大，占 13分.求出最大水银量占 7分.若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分.五、参考解答：正、负电子绕它们连线的中点作半径为 的圆周运动，电子的电荷量为 e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即(1)正电子、负电子的动能分别为 Ek+和 Ek-，有(2)智浪教育-普惠英才文库正、负电子间相互作用的势能 (3)电子偶素的总能量 E=Ek+Ek
18、-+Ep (4)由(1)、(2)、(3)、(4)各式得(5)根据量子化条件 ，n=1，2，3， (6)(6)式表明，r 与量子数 n有关.由(1)和(6)式得与量子数 n对应的定态 r为n=1，2， 3， (7)代入(5)式得与量子数 n对应的定态的 E值为n=1，2，3， (8)n=1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态.基态的能量为 (9)n=2 是第一激发态，与基态的能量差(10)评分标准：(本题 20分)(2)式 2分、(5)式 4分，(7)式、(8)式各 5分，(10)式 4分.六、参考解答：智浪教育-普惠英才文库P 被释放后，细绳的张力对 D产生机械力矩，带动 D和 A1作逆时针的
19、加速转动.通过两个轮子之间无相对运动的接触，A 1带动 A2作顺时针的加速转动.由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在 A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在 A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻 R构成闭合电路.A 1、A 2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力.不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使 A1、A 2加速转动的势头减缓.A 1、A 2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A 1和 A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时 P匀速下落，设其速度为 v，则 A1的角速度(1)A 1带动 A2转动，A 2的角速度 2与 A1的角速度 1之间的关系为 1a1= 2a2 (2)A 1中每根辐条产生的感应电动势均为(3)轴与轮边之间的电动势就是 A1中四条辐条电动势的并联，其数值见(3)式.同理，A 2中，轴与轮边之间的电动势就是 A2中四条辐条电动势的并联，其数值为(4)A 1中，每根辐条的电阻为 R1，轴与轮功之间的电阻是 A1中四条辐条电阻的并联，其数值为(5)A 2中，每根辐条的电阻为 R2，轴与轮功之间的电阻是 A2中四条辐条电阻的并联，其数值为(6)A 1轮、A 2轮和电阻 R构成串联回路，其中的电流为(7)以(1)至(6)式代入(7)式，得
