第五章 用变分法解最优控制 泛函极值问题本章主要内容 5.1 变分法基础 5.2 无约束条件的泛函极值问题 5.3 有约束条件的泛函极值动态系 统的最优控 制问题 5.4 小结 在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。5.1 变分法基础 如果对某一类函数 中的每一个函数 ，有一个实数值 与之相对应，则称 为依赖于函数 的泛函，记为 粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。 1 、泛函： 先来给出下面的一些定义。 若对 任给 的 ，存在 当 时 ，就有 则称 在 处是连续的。 2 、泛函的连续性： 满足下面条件的泛函称为线性泛函 这里 是实数， 和 是函数空间中的函数。 3 、线性泛函： 4 、自变量函数的变分： 自变量函数 的变分 是指同属于函数类 中两个函数 、 之差 这里, t 看作为参数。当 为一维函数时， 可用图5-1 来表示。图5-1 自变量函数的变分 这里， 是 的线性泛函，若 时，有 ，则称 是泛函 的变分。
