1、2017 年上海市杨浦区高考一模数学一、填空题(本大题满分 54 分)共 12 小题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分1.若“ab” ，则“a 3b 3”是_命题(填：真、假)解析：函数 f(x)=x3在 R 是单调增函数，当 ab，一定有 a3b 3，故是真命题.答案：真.2.已知 A=(，0，B=(a，+)，若 AB=R，则 a 的取值范围是_.解析：若 AB=R，A=(，0，B=(a，+)，必有 a0.答案：a0.3.z+2 =9+4i(i 为虚数单位)，则|z|=_.z解析：设 z=x+yi(x，yR)，z+2 =9+4i，x+yi+2(xyi)=9+4i，化为：z3x
2、yi=9+4i，3x=9，y=4，解得 x=3，y=4. .23(4)5z答案：5.4.若ABC 中，a+b=4，C=30，则ABC 面积的最大值是_.解析：在ABC 中，C=30，a+b=4，ABC 的面积 ，当且仅2111sinsi30424)(SabCba当 a=b=2 时取等号.答案：1.5.若函数 的反函数的图象经过点(2，3)，则 a=_.2g1loxfa解析：函数 的反函数的图象经过点(2，3)，函数 的图象经过点(3，2)，2lxf ，32og1aa=2.答案：2.6.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60，则该截面的面积是
3、_.解析：设截面的圆心为 Q，由题意得：OAQ=60，QA=1，S=1 2=.答案：.7.抛掷一枚均匀的骰子(刻有 1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作 a，b，c，则a+bi(i 为虚数单位)是方程 x22x+c=0 的根的概率是_.解析：抛掷一枚均匀的骰子(刻有 1，2，3，4，5，6)三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数 n=666=216，a+bi(i 为虚数单位)是方程 x22x+c=0 的根，(a+bi) 22(a+bi)+c=0，即 ，a=1，c=b 2+1，0abcaa+bi(i 为虚数单位)是方程 x22x+c=0 的根包含的基本事件为：(1，1，2)
4、，(1，2，5)，a+bi(i 为虚数单位)是方程 x22x+c=0 的根的概率是 .21608p答案： .088.设常数 a0， 展开式中 x6的系数为 4，则 =_.9()x2limnna解析：常数 a0， 展开式中 x6的系数为 4， ，18392219rrrrTCxx当 时，r=2，8362 ，解得 ，94a3a ，221()113()23nnnn .2limlim()nnna答案： .19.已知直线 l 经过点 且方向向量为(2，1)，则原点 O 到直线 l 的距离为_.(5,0)解析：直线的方向向量为(2，1)，所以直线的斜率为： ，直线方程为：12x+2y+ =0，5由点到直线的
5、距离可知： ；251答案：1.10.若双曲线的一条渐近线为 x+2y=0，且双曲线与抛物线 y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_.解析：抛物线 y=x2的准线： ，14y双曲线与抛物线 y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为 ，焦点在 y 轴14a上.双曲线的一条渐近线为 x+2y=0， ，12ab可得 ，12b则此双曲线的标准方程为： .2164yx答案： .2164yx11.平面直角坐标系中，给出点 A(1，0)，B(4，0)，若直线 x+my1=0 存在点 P，使得|PA|=2|PB|，则实数 m 的取值范围是_.解析：设 P(1my，y)，|PA|=2|P
6、B|，|PA| 2=4|PB|2，(1my1) 2+y2=4(1my4) 2+y2，化简得(m 2+1)y2+8my+12=0则=64m 248m 2480，解得 m 或 m ，3即实数 m 的取值范围是 m 或 m .3答案：m 或 m .12.函数 y=f(x)是最小正周期为 4 的偶函数，且在 x2，0时，f(x)=2x+1，若存在x1，x 2，x n满足 0x 1x 2x n，且|f(x 1)f(x 2)|+|f(x2)f(x 1)|+|f(xn1 f(x n)|=2016，则 n+xn的最小值为_.解析：函数 y=f(x)是最小正周期为 4 的偶函数，且在 x2，0时，f(x)=2x
7、+1，函数的值域为3，1，对任意 xi，x j(i，j=1，2，3，m)，都有|f(x i)f(x j)|f(x) maxf(x) min=4，要使 n+xn取得最小值，尽可能多让 xi(i=1，2，3，m)取得最高点，且 f(0)=1，f(2)=3，0x 1x 2x m，|f(x 1)f(x 2)|+|f(x2)f(x 3)|+|f(x n1 )f(x n)|=2016，n 的最小值为 ，相应的 xn最小值为 1008，则 n+xn的最小值为 1513.0654答案：1513.二、选择题(本大题共 4 题，满分 20 分)13.若 与 都是非零向量，则“ ”是“ ”的( )abcabcabc
8、A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：“ ”“ ”“ ”“ ”，abc0abc()0abc()abc故“ ”是“ ”的充要条件.()答案：C14.行列式 中，元素 7 的代数余子式的值为( )14258369A.15B.3C.3D.12解析：行列式 ，147258369元素 7 的代数余子式为：D13=(1) 4 =2653=3.答案：B.15.一个公司有 8 名员工，其中 6 名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么 8 位员工月工资的中位数不可能是( )A.5800B.6000C.
9、6200D.6400解析：一个公司有 8 名员工，其中 6 名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，当另外两名员工的工资都小于 5300 时，中位数为 ，5305402当另外两名员工的工资都大于 6500 时，中位数为 ，168 位员工月工资的中位数的取值区间为5400，6300，8 位员工月工资的中位数不可能是 6400.答案：D.16.若直线 通过点 P(cos ，sin )，则下列不等式正确的是( )1xyabA.a2+b21B.a2+b21C. 1D. 2ab解析：直线 通过点 P(cos ，sin )，1xybcos +asin =ab， ，其
10、中 ，2sin()ababtnba ，2aba 2+b2a 2b2， ，1答案：D三、解答题(满分 76 分)共 5 题17.某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为 55 毫米线段 AB 和 88 毫米的线段 AC 以及圆心为 P，半径为 PB 的一段圆弧 BC 构成，其中BAC=60.(1)求半径 PB 的长度；(2)现知该零件的厚度为 3 毫米，试求该零件的重量(每 1 个立方厘米铜重 8.9 克，按四舍五入精确到 0.1 克).V 柱 =S 底 h.解析：(1)在ABP 中，由余弦定理建立方程，即可求半径 PB 的长度；(2)求出 V 柱 =S 底 h，即可求该零件的重量.答案：(1)AB
11、=55，AC=88，BP=R，BAC=60.AP=88R，在ABP 中，由余弦定理可得：BP 2=AB2+AP22ABAPcosBAC，可得：R 2=552+(88R)2255(88R)cos60，解得：R=49mm.(2)在ABP 中，AP=8849=39mm，AB=55，BP=49，223945897cos 0.34BPAsinBPA0.972.BPA=arcsin0.972.V 柱 =S 底 h=(SABP +S 扇形 BPC) h=21(arcsin0.97)4(593236该零件的重量= 10008.982.7. 213arcsin0.7)4(592618.如图所示，l 1，l 2是
12、互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点 A，B 在直线 l1上，且位于 M 点的两侧，C 在 l2上，AM=BM=NM=CN(1)求证：异面直线 AC 与 BN 垂直；(2)若四面体 ABCN 的体积 VABCN=9，求异面直线 l1，l 2之间的距离.解析：(1)欲证 ACNB，可先证 BN面 ACN，根据线面垂直的判定定理只需证ANBN，CNBN 即可；(2)判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可.答案：(1)证明：由已知 l2MN，l 2l 1，MNl 1=M，可得 l2平面 ABN.由已知 MNl 1，AM=MB=MN，可知 AN=NB 且 ANNB.又 AN 为 AC 在平
13、面 ABN 内的射影.ACNB(2)AM=BM=NM=CN，MN 是它们的公垂线段，就是异面直线 l1，l 2之间的距离，由中垂线的性质可得 AN=BN，四面体 ABCN 的体积 VABCN=9，可得： ，3193ABCNVBMNCMN=3.异面直线 l1，l 2之间的距离为 3.19.如图所示，椭圆 C： ，左右焦点分别记作 F1，F 2，过 F1，F 2分别作直线241xyl1，l 2交椭圆 AB，CD，且 l1l 2.(1)当直线 l1的斜率 k1与直线 BC 的斜率 k2都存在时，求证：k 1k2为定值；(2)求四边形 ABCD 面积的最大值.解析：(1)由椭圆方程求出焦点坐标，得到直
14、线 AB、CD 的方程，与椭圆方程联立求得 A、D的坐标，求出 AD 所在直线斜率得答案；(2)由(1)结合弦长公式求得|AB|，再由两平行线间的距离公式求出边 AB、CD 的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值.答案：(1)证明：由椭圆 C： ，得 a2=4，b 2=1， .241xy23cab设 k1=k，则 AB 所在直线方程为 y=kx+ k，CD 所在直线方程为 y=kx k，3联立 ，得(1+4k 2)x2+8 k2x+12k24=0.243yxk解得 ，不妨取 ，则21xk2431Bkx2314Bky同理求得 ， .2Ckx2314Cky则 ，则22 22313184
15、4 k k；1()(2)解：由(1)知， ，28314ABkx214ABkx. 22222 2 418361 1kkABkAB、CD 的距离 ，23kd.42241831四 边 形 ABCDkSk令 1+4k2=t(t1)，则 ，当 t=3 时，S max=4. 2381686 tt20.数列a n，定义a n为数列a n的一阶差分数列，其中a n=an+1a n(nN *)(1)若 an=n2n，试判断a n是否是等差数列，并说明理由；(2)若 a1=1，a na n=2n，求数列a n的通项公式；(3)对(b)中的数列a n，是否存在等差数列b n，使得 ，对一12nnbCbCa 切 nN
16、 *都成立，若存在，求出数列b n的通项公式，若不存在，请说明理由.解析：(1)根据数列a n的通项公式 an=n2n，结合新定义，可判定a n是首项为 4，公差为 2 的等差数列；(2)由a na n=2n入手能够求出数列a n的通项公式；(3)结合组合数的性质：1C n1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n(Cn1 0+Cn1 1+Cn1 2+Cn1 n1 )=n2n1进行求解.答案：(1)若 an=n2n，试判断a n是等差数列，理由如下：a n=n2n，a n=an+1a n=(n+1)2(n+1)(n 2n)=2n，a n+1a n=2，且a 1=4，a n是首项为 4，公差为 2 的
17、等差数列；(2)a na n=2n.a n=an+1a n，a n+12a n=2n， ，12a数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列，n12即 ；122nna(3)b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=an，即 b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=n2n1 ，1C n1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n(Cn1 0+Cn1 1+Cn1 2+Cn1 n1 )=n2n1 ，存在等差数列b n，b n=n，使得 b1Cn1+b2Cn2+bnCnn=an对一切自然 nN 都成立.21.对于函数 f(x)(xD)，若存在正常数 T，使得对任意的 xD，都有 f(x+T)f(x)成立，我们称函数 f(x
18、)为“T 同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数 T，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数” ；(2)若函数 f(x)=kx+sinx 是“ 同比不减函数” ，求 k 的取值范围；(3)是否存在正常数 T，使得函数 f(x)=x+|x1|x+1|为“T 同比不减函数” ；若存在，求 T 的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：(1)根据 T 同比不减函数的定义即可证明，(2)根据 T 同比不减函数的定义，分离参数得到 ，根据三角形函数的性2sin()4kx质即可求出 k 的范围，(3)画出函数 f(x)的图象，根据图象的平移即可求出 T 的范围.答案：(1)f(x)=x 2，f(x+T)f(x)=(x+T) 2x 2=2xT+T2=T(2x+T)，由于 2x+T 与 0 的小无法比较，f(x+T)f(x)不一定成立，对任意正常数 T，f(x)=x 2都不是“T 同比不减函数，(2)函数 f(x)=kx+sinx 是“ 同比不减函数， =sinsin22（ ） （ ） （ ） （ ）fxfkxxkx恒成立，cosin04（ ）k ，4（ ）x1sin(x )1， ，2k(3)f(x)=x+|x1|x+1|图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移 4 个单位，即对任意的 xD，都有 f(x+T)f(x)成立，T4.
