第二积分中值定理(共2页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第二积分中值定理 若函数在区间上连续，而是区间上的单调有界函数，则有点，使其中【右极限】，【左极限】。特别，若，则证明前的说明：是单调有界函数，所以它是可积的，而作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中，不妨认为，否则，令，则，于是由即，可得一般情形不妨认为是单调增加函数，因为若是单调减小函数，就用替换。证 首先划分区间，即而在每一个小区间上，都存在点，使【第一积分中值定理】于是，求和得（）现在，将左端做变换，即因为是单调增加函数且，所以；再用和分别表示函数的最小值和最大值，则于是，根据式()，就得到估计式让最大小区间的长度，注意到，则得若，则，可任意取；若，则根据连续函数的介值定理，必有点，使,即注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。譬如，若函数在区间上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数和满足其中为正常数。事实上，因为区间可被分成有限个子区间，而在每一个子区间上是单调有界函数，所