1、 目 录1 引言 .12 线性赋范空间 .12.1 预备知识 .12.2 线性赋范空间的一些性质 .33 线性有界泛函与共轭空间 .43.1 线性有界泛函 .43.2 线性有界泛函与线性连续泛函 .53.3 共轭空间 .64 线性有界算子 .104.1 线性有界算子定义与举例 .104.2 线性有界算子与线性连续的关系 .104.3 线性算子空间 .114.4 有界性与闭性 .13致 谢 .15I线性赋范空间泛函有界性研究数学系本 1104 班 薛菊峰指导教师： 何瑞强摘要：本文研究的是线性赋范空间泛函有界性。从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的知识点；然
2、后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出一些相关泛函理论的推导并给出一些相关的例题便于理解和掌握；最后，将泛函有界性推广到两个线性赋范空间之间，从而引入了两个人空间之间的映射即所谓的线性有界算子。因此对线性赋范空间泛函有界性的研究是很有必要的，它有助于研究者的掌握和应用。关键词：线性赋范空间；线性有界泛函；线性连续泛函；线性有界算子Normed linear space bounded functional studiesXue JufengClass 1104, Mathematics DepartmentTutor:He RuiqiangAbstract:This
3、 paper studies is a normed linear space functional boundedness.Carries on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge;then,relationship between bounded and continuous on normed linear space functi
4、on,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master; finally,the functional boundedness is extended to two linear normed space,then the mapping between the two personal space is called bounded linear operator.So the nor
5、med linear space of bounded functional of is very necessary,it is to grasp and study help beginners.Keywords:linear normed space;bounded linear functional;continuous linear functional;bounded linear operator01 引言有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在线性赋范空间中几个概念的探讨证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界
6、性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在关于泛函分析中定理的推广对于赋范空间 和 ，从 到 的全体线性有界算子XY关于算子范数亦成为赋范空间，且知当 是完备空间时， 也是YXB, YXB,完备的。在更广泛的空间类-赋准 范数空间中，推广了上述的结果；李晓爱在P线性赋范空间上泛函列的一致连续性定理定义了在线性赋范空间 上泛函序列 强一致连续，弱一致连续和一致收敛的概念，得出了泛函序列 强nf nf一致连续必弱一致连续；并证明了定义在线性赋范空间 X 上的泛函序列 弱一致连续且又是一致收敛序列时，在 上必强一致连续；定义在线性赋范空间XX 的有界子集 D
7、上的强一致连续泛函序列 ，若满足 ，则nf nfn0序列是一致收敛的。但总的说来讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对线性赋范空间泛函有界性进行阐述。本文主要探讨了线性赋范空间泛函有界性的一些性质以及泛函有界性在相关泛函理论方面的推导，全文共分为四个部分。第 1 章介绍了线性赋范空间泛函有界性的发展概述及问题的提出，以及本论文的主要内容；第 2 章阐述了与线性赋范空间泛函有界性相关的的一些概念以及其它一些有界性相关的性质；第 3 章谈论了线性赋范空间泛函有界性与泛函连续性之间的等价关系，并给出相关的例题进行两者之间的等价变换；第 4 章推广泛函有
8、界性到两个赋范空间中去，得出一些线性有界算子的结论。2 线性赋范空间在距离空间中我们引入了点列的极限，点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推广，但是只有距离结构没有代数结构的空间在应用时受到许多的限制。事实上，应用最多的空间如 、 等等。这些空间中的元nRpablC， 、素不仅可以定义距离还可以定义某些代数运算，本部分主要介绍线性赋范空间，1它较距离空间有明显的优越性。2.1 预备知识命题 2.2.1 线性赋范空间：如果 X 是实数域（或复数域） K 上的线性空间，在X 上定义映射： 如果 满足以下三条：1:xR， xya,X， ，正定性：1x0,=0.正齐性：2三角不等式：3+y则称
9、为 x 的范数，称 为线性赋范空间，简记为 X。通常称定义中的x（ ， ）条件（1） 、 （2） 、 （3）为范数公理。命题 2.2.2 巴拿赫（Banach）空间：如果 X 是一线性赋范空间，若 X 按照距离是完备的，那么称 X 为巴拿赫空间。 dxy=（ ， ）例 1 : 是线性赋范空间。p12nii=1xpl ，分析 ： xypl， ， ,2ny K加法： 1,x数乘: 2,n 从而 是线性空间。pl定义 满足范数公理。1pix故: 是线性赋范空间。pl例 2： 在通常加法，数乘意义下构成线性空间，在 上定义范数,Cab ,Cab可以验证其满足范数公理（1） 、 （2） 、 （3） ，故
10、 是线性赋范,mxtt空间。例 3：设 为 上 p 方 L 可积函数的全体，其中几乎处处相等,pLab,ab2的函数视为同一函数，几乎处处为零的函数看作零元。对通常的加法、数乘构成线性空间，在 中定义范数:,1pLab ,1pLab容易验证 是范数，故 是线性赋范空间。paxtdx,p引理 2.2.1 线性赋范空间中的极限：定义：依范数收敛等价于依距离收敛。如果 X 是线性赋范空间， 是 Xnx中的点列， 若 就称 依范数收敛于 x。 （简称 收敛于,xXlim0nxnxx） ，记为 或lin.2.2 线性赋范空间的一些性质引理 2.2.1 如果 X 是线性赋范空间， nxyX、有界性：如果
11、则 有界。1.nx线性运算的连续性：如果2 ,nnxy则 其中 为常数。,.nnxy范数的连续性：范数 是 x 的连续函数。3证明： 因为： 取 由1=,nnx0,nx1故 当 时有 ，所以：当 时有0,nx,N1nN取 对每个 n,有12ma,NMxx即 有界。,nndxn因为： 所以： 于2xylim0nxli0.ny是有：.从而有：limlimlilin nnnnxyxy即,.即 lili0,nnxx.nx定理 2.2.1：如果 X 是线性赋范空间，d 是由范数导致的距离，3那么 有0,xyzXk平移不变性：10,.dxzydxy绝对齐次性：2证明： 000, ,.xzyxzyxyd(2
12、) ,.d3 线性有界泛函与共轭空间线性赋范空间泛函有界性在不少问题的研究中常常起着重要的作用，又因其与连续泛函有着密切的联系，所以对其进行系统的归纳、总结十分必要。3.1 线性有界泛函命题 3.1.1 线性泛函：如果 X 是实数（或复）数域 K 上的赋范空间，D 是 X 上的线性子空间， 若 满足： 有 :DK,ff,xy,那么就称 是 D 上的一个线性泛函，称 D.fxyxyf为 的定义域， 为 的值域。ffx若 ， 那么称 是实线性泛函；若 K=C， 那么称 是复线性泛函；若1KR fD=X， 那么称 是 X 上的线性泛函。f命题 3.1.2 线性有界：如果 是线性泛函，若存在 ，对任1
13、:fDR0M何 ，有 ，那么称 是 D 上的线性有界泛函。xDfxMf例 1：区别线性有界与微积分中的有界概念的不同。解： 在 上是无界函数，但是作为 到 的线性泛函都是线性f1R1R有界泛函。事实上： 1,xy,那么.fxyff 1,MxR所以 是 R1 上的线性有界泛函。.Mxx例 2：求实 n 维欧氏空间 上的线性有界泛函。nR解： 设 是 中的固定向量， ，令12,aa 12,nxxR4则 是 上的线性有界泛函。1nifxafnR证明 ： 泛函f1n21,xy,nn iiiKfxyxya线性泛函11.nniiaff（Holder 不等式）3112211nnnniiiifxxaxa取:
14、使 线性有界泛函,M,nxR.fxM由 、 、 可知： 是 上的线性有界泛函。123fn例 3：在 上定义泛函， , 在 上连续，证明：baC, baCtxty0ba,和 是线性有界的。dtyxfa0g不 全 为 零， 证明： knm,1dtytndtytxmtytxyxf bababa 000 所以 是线性的。.fff,则 ,那么：bCxtxbtatytxtytxf baba00.令 ,则 从而 dtydtytbabat 00mdtMba0.Mf是有界的。xf2bnymxnynygbx.所以 是有界的。bagxaxxtxtxbtabtam5令 ,则 .所以 .maxxtbt MxMgg是有界
15、的。例 4：证明通过 ,定义 上为线性泛函，问： 是 lnf j,固 定 l f有界的吗？证明： 是泛函；11:Rlf则2,lyxknyxf.yfxf所以 是线性的。f,即 ，使3,lxxxin1sup01M.xMf所以 是有界的。f命题 3.1.3 线性连续：如果 （或复数域 C）是线性泛函且1:DXR在 fxD 上连续，那么就称 是 D 上的线性连续泛函。fx定理 3.3.1：若 D 是 X 的线性子空间， ，那么： 在 D 上1:fXRfx连 续 在某一点 处连续。fx0x证明：必要性： 在 D 上连续，显然有： 在 连续。f fx0充分性：设 则,x,nnx0nx在 连续.于是有.nf
16、x00ffff那么有 即 在 点连续，因此 在 D 上nffxxx连续。（特别提醒：线性泛函 在 =0 连续，那么就有： 在 D 上连续。 ）f f3.2 线性有界泛函与线性连续泛函命题 3.2.1：如果 是 D 上的线性泛函，则 在 D 上连续 等价于 在 fxfxfx6D 上有界。证明：必要性：用反证法，假设 在 D 上无界， 使fx0,nxD令 那么 .而.nnfxAnxA10nAnnff这与 在点连续相矛盾，所以有 在 D 上11nnfxfxfx有界。充分性：设 在 D 上有界，则 有f 0,nMxD0n从而有在 点连续，由定理 3.3.1 可知：0nnfxM0x在 D 上连续。例 1
17、： 定义 ，则 是 X 上的线性连续泛函，称为零泛函。,xXx例 2：对 令 ，则 有abC， ， baftd,xyCabfxy所以： 是 baxtytdxtfy f上的线性泛函。,又由于 所以fxmax.bbbaaatbtxtddtx是 上的线性有界泛函（或线性连续泛函） 。fx,C例 3：设 ,证明：如果 有界，则 是闭集。请yTTXxTN,0问 反之如何?证明：如果 有界，那么 连续，则 , ,使 ,所TTx0xn0xn以有： 即 .所以： 是闭集。.0lim0nxTNX0反之不真。例如：取 , , ,则 连续，若baCXYtxY:,Tx则 , 是闭集，但 是无界算子。ct1RctxNT
18、7例 4：设 是线性赋范空间， 是线性有界算子。证明：21,X,321:1nxTn如果 ,则对任何给定闭球中的一切 ,存在 ,当 时有 . TnNTxn证明：设 M 是给定的闭球并置于球 之中，由于 ,那么对RxB于 ，存在 ,当 时有 ,所以 有：0NTn.即命题得证。RxTxTnn3.3 共轭空间命题 3.3.1 泛函范数：如果 定义 的范数为 可以验证：fX， fx0supxff满足范数的三条公理，事实上有：f正定性： 有1,fx0,fx.fxfx正齐性：对K，有2,supxKfsup.xff三角不等式性：312,fX1212supxfxf12supxffx1212s .xfff所以 是赋范空间，这个空间称为 的共轭空间。X X结论： 当 时，有： 。1,ffxf证明：因为： 所以： 是 的上界，所以 supxfffx有： 从而： 。fxffx如果 是线性有界泛函，那么 的范数有如下的等价形式：2f f
