1、邯郸学院本科毕业论文题 目 与积分上限函数有关的几类问题的研究学 生 张薇指导教师 王婷 讲师年 级 2012 级本科专 业 数学与应用数学二级学院 数理学院邯郸学院数理学院2016 年 5 月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王婷的指导下撰写完成的如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督特此郑重声明论文经“万方”论文检测系统检测，总相似比为“11.11%”毕业论文作者（签名）：年 月 日与积分上限函数有关的几类问题的研究摘 要积分上限函数，即变上限的定积分，这是一类特殊的函数，它既具有与普遍函数相关的
2、特征，又具有许多与积分有关的特殊性质，如连续性、周期性、单调性、奇偶性等。因此，我们可以利用积分上限函数的一些性质简化某些微积分计算问题或者将其用于证明。本文主要讨论了积分上限函数的九类相关问题, 举例说明了积分上限函数在解题和证明中的诸多应用，包括积分上限函数的极限、连续、可微问题，极值、最值问题，零点问题，证明中值定理，在函数关系上的应用等相关问题。关键词：积分上限函数 性质 连续性 可微性 周期性 应用 证明IA few questions related to the integral upper limit function research Zhang Wei Directed b
3、y LecturerWang TingAbstract Upper limit function of integral, which also called the definite integral with variable upper limit. This is a special kind of function, which not only has the same characteristics with the common functions, but also has a large number of same features that relevant to in
4、tegration, such as continuity, periodic, monotonicity and so on. Therefore, we can make use of some properties of the integral upper limit function to simplify some calculus problems or be used to prove. This paper mainly discusses the nine categories of problems related to the integral upper limit
5、function and illustrates the integral upper limit function in problem solving and proved in many applications, including the limit of integral upper limit function, continuous and differentiable problem, extreme value, the value problem, zero point problem, the median theorem and related problems.KE
6、Y WORDS: Integral Upper Limit Function； Properties； Continuous； differentiability；periodically； application；provation0目 录摘 要 .IAbstract .II前 言 .21 积分上限函数的定义及性质 .31.1 积分上限函数的概念 .31.2 积分上限函数的性质 .31.2.1 积分上限函数的连续性 .31.2.2 积分上限函数的可微性 .41.2.3 推广的积分上限函数求导公式 .51.2.4 积分上限函数的周期性 .62 积分上限函数的应用 .72.1 极限、连续相关问题
7、 .72.2 导数问题 .82.3 单调性问题 .92.4 极值、最值问题 .102.5 在证明中值定理上的应用 .112.6 在函数关系问题中的应用 .122.7 零点问题 .122.8 在证明等式题、不等式题的应用 .132.9 在计算重积分上的应用 .153 结束语 .16参考文献 .17致 谢 .181前 言变上限积分在微积分理论中有着十分重要的作用，首先，由变上限定积分得出了原函数存在定理，也即微积分基本定理，通过此定理也用另一种方式推导了牛顿-莱布尼茨公式，并且利用它也定义了反常积分等。积分上限函数不仅在这些方面扮演了重要角色，而且它作为一种特殊的函数，提供了函数的一种新的描述方式
8、，在此基础之上，它还可以表示很多非初等函数，极大的丰富了函数的表达式，使微积分理论变得更加严谨、适用和完备。最重要的是，积分上限函数具有与普遍函数相关的特征，又具有与许多与积分有关的特殊性质，如连续性、周期性、单调性等，所以在很多问题中，可以充分利用积分上限函数对题目中涉及的定积分的积分上限改为变量变成变上限积分，或者对所给的函数取变上限积分进行升级得到性质改善的函数，对一些问题进行简化计算和证明，都能够使问题柳暗花明，得到更方便的解决，起到他山之石，可以攻玉的方法效果。在一元函数的微积分学中，由于证明原函数存在定理和微积分基本公式的需要，引入了积分上限函数，从而揭示了不定积分与定积分，微分与
9、积分的内在联系，解决了定积分的计算问题。其最著名的应用是在牛顿-莱布尼茨公式的证明中。在目前比较流行的高等教材和公开的期刊杂志中，对积分上限函数的性质和应用已经作了比较深入的研究。在王国强的变限积分函数及其应用中对变限积分函数及其性质进行了推广，收集了若干与变限积分有关的例子，论述了变限积分函数在其上的应用。在刘晓兰、周娅杰的关于积分上限函数探讨了积分上限函数的实质、一般性质，详细讨论了积分上限函数的极限、导数以及积分上限函数的导数的应用。在向长福的积分上限函数的分析性质和应用中，讨论了积分上限函数的三条分析性质,并证明了积分上限函数的连续性定理，进而以例子为载体阐述了积分上限函数分析性质的应
10、用，包括积分上限函数可导性的应用，积分上限函数的连续性应用。高鸿在积分上限函数的主要性质和应用中，讨论了积分上限函数的导数存在性、 周期性和 n 重迭次积分公式, 并探讨了它们在求导、求极限、证明单调性及连续性、证明积分中值定理、定义有关函数等方面的应用。在蒋善利，普丰山的积分上限函数的主要性质的研究中，给出了积分上限函数的定义，通过对积分上限函数的可导性、单调性、连续性、可积性的证明，进一步来探 讨积分上限函数的性质，推导出几个相关定理，指出积分上限函数的应用。本文系统地讨论了积分上限函数的九类相关问题。首先简要说明了积分上限函数的主要性质及其证明，这是讨论一切与积分上限函数有关的问题的基础
11、，包括积分上限函数的连续性，可微性，周期性等性质，进而举例说明了积分上限函数在解题和证明中的诸多应用，包括积分上限函数的极限、连续、可微问题，极值、最值问题，零点问题，证明中值定理，在函数关系上的应用等相关问题。21 积分上限函数的定义及性质在微积分学理论中，由于证明原函数存在定理引入了积分上限函数，进而也简便的证明了牛顿-莱布尼茨公式。积分上限函数也称变上限积分，它有着积分的形式，实质是一类特殊形式的函数，它主要由被积函数的性质和积分上(下)限的结构来决定。下面介绍了积分上限函数的概念和主要性质。1.1 积分上限函数的概念设函数 在区间 连续，则 在 上可积，对任意的 ，则xfba,xfba
12、, bax,存在，即这个积分是上限 的函数。由于积分与变元素采用的记号无关，这个xadtf)(积分也常记作 。将这个函数记作 。xadf)( xadtf)(注：定积分与积分变量无关，积分上限函数 ，还可以记为 。 dhfxa)(1.2 积分上限函数的性质1.2.1 积分上限函数的连续性定理 1 如果函数 在 上是可积，则积分上限函数 在区间fx,abxaFftd连续。,ab证明： ，00,xx0000xxxaaFFftdftftd又由已知条件， 在 上有界，即：对 ，有 。fx,ab,MbM0,，000 .xxxFftdftdtx3，令 ，xM即 ，当 时，有 ，0,0x0F即 。limxF在
13、 上连续。 xaftd0,ab由 在 上的任意性， 在 上连续。0x,bFx1.2.2 积分上限函数的可微性定理 2 若函数 在区间 连续，则积分上限函数 在 有连fx,abxaftd,b续的导数，且 ， 即积分上限函数 是被积函数 的一个原函数。x证明：设 ，取 ，使 则有,xx,ab，xxxftdftftd已知函数 在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点 ，使fx c= ，baft()fcba取 （ ），则：,cxab01，或 ，xfxxfx又由函数 在 的连续性，有f,ab，0 0limlimx xfxfx即 ， 。,xabf注解：（1）从以上两个定理可看出，对 取变上限积分得到的
14、积分上限函数，)(xf比原来的函数得到了更好的性质：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数 经过求导后，其导函数 甚至不一定)(f )(xf是连续的，所以反之不一定成立。4（2）定理 2 也称为原函数存在定理，它说明：连续函数的原函数是存在的，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理 2 把两者联系了起来，在微分和积分之间建立了桥梁，从而使微分学和积分学成为一个整体，我们又把它称为微积分第一基本定理。1.2.3 推广的积分上限函数求导公式定
15、理 3 如果函数 在区间 上连续，fx,ab（1）当上限是 的可微函数 时， 有如下面求导公式()()bxaFftd；xf（2）当上限与下限都是 的可微函数时，则有如下求导公式：。() ()()bxaFftdfbxfax 证明：（1）取 ，使,()()()bxbxbxaaxftdftftd由已知函数 是可微函数，故，b，0limxbx又 在 连续，由积分中值定理，则：fx,ab，1()xftdfbxb 1(0)1()Ff是可微，因此 是连续 ()bx()bx0limx，0000limlililimxx xxf bfb 。Ffb（2） ,取 ，使xax,xab5()()()()bxbxaxbxa
16、a aFxftdftftdft()()()()bxbaxbxxftdft d 由已知， 和 都是可微函数。又 在 连续，由积分中值定理f,1 1 1bxaftdfbxxbfaxb同理得， 则：2 2,axtaa12Fffx又 与 可微，且 ， 连续函数，axbxb所以 ，0limx0lix1200lilimxxfbfaxaF1 20 0li limx xfbfxx0000lilililixxxxaf f所以 。Fxfba1.2.4 积分上限函数的周期性定理 4 周期为 的可积函数 的积分 ，当 时，是以 T 为Tfxxaftd0aTftd周期的周期函数。证明： 由于 是周期为 的可积函数fx令 则：xaFftdxTaTxTa aFftdftdft作变量代换： ，tuTtu所以 xTxxaaafdfdfF因此当 时，函数 成立。0txTxTaftdftFx
