1、浙江工业大学第十四届大学生数学建模竞赛所 选 赛 题 ： A B C我们承诺： 我们仔细阅读了浙江工业大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资 料 （包括网上查到的资料） ， 必 须 按 照 规 定 的 参 考 文 献 的 表 述 方 式 在 正 文 引 用 处和 参 考 文 献 中 明 确 列 出 。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参
2、 赛 队 员 （ 签 名 ） ： 学 院 年 级 ： 联 系 方 式 ： 参 赛 队 员 （ 签 名 ） ： 学 院 年 级 ： 联 系 方 式 ： 参 赛 队 员 （ 签 名 ） ： 学 院 年 级 ： 联 系 方 式 ： 我们队伍愿意参加暑期数学建模培训，参加全国大学生数学建模竞赛1题目： 雾霾相关问题探究摘 要雾 霾 天 气 会 造 成 能 见 度 降 低 ， 空 气 湿 度 较 大 ， 气 溶 胶 污 染 等 环 境 灾 害 问 题 。 鉴 于 雾霾 天 气 已 成 为 一 种 新 的 气 象 及 环 境 灾 害 性 现 象 ， 本 文 将 对 雾 霾 引 发 的 一 些 问 题 进
3、行 探讨 ， 主 要 包 括 两 个 方 面 ， 一 是 建 立 数 学 模 型 描 述 雾 霾 通 过 对 植 物 的 直 接 影 响 而 对 生 物 链 造成 的 危 害 ； 二 是 建 立 一 种 算 法 来 处 理 雾 霾 天 气 下 摄 取 的 模 糊 图 片 。基 于 三 种 群 Volterra 模 型 ， 我 们 通 过 引 入 雾 霾 影 响 系 数 ， 定 义 了 雾 霾 影 响 力 值 ， 建 立了 能 描 述 在 雾 霾 环 境 下 ， 由 植 物 、 哺 乳 动 物 和 爬 行 动 物 组 成 的 生 物 链 的 常 微 分 方 程 组 。 我 们主 要 通 过 分
4、析 常 微 分 方 程 组 的 稳 定 点 ， 以 一 个 在 没 有 雾 霾 的 影 响 下 ， 三 个 种 群 都 没 有 灭 绝 的 情形 的 数 值 例 子 作 为 研 究 的 参 照 点 ， 通 过 增 加 此 情 形 下 的 雾 霾 影 响 力 值 ， 来 分 析 在 不 同 雾 霾 影 响力 下 生 物 链 的 变 化 。 最 终 ， 我 们 能 通 过 数 据 模 拟 的 方 法 ， 得 到 雾 霾 影 响 力 值 在 范 围 0 至 1 之 间变 化 时 ， 种 群 数 量 的 具 体 变 化 情 况 。 此 外 ， 我 们 根 据 雾 霾 影 响 力 值 与 种 群 数 量
5、 变 化 之 间 的关 系 ， 建 立 了 评 判 雾 霾 影 响 生 物 链 程 度 的 指 标 。本 文 的 三 种 群 Volterra雾霾影响模型能在取得实际种群的相关数据的情况下，通过 计 算 得 到 雾 霾 影 响 力 值 ， 并 以 此 根 据 评 判 指 标 进 行 危 害 性 衡 量 。 更 进 一 步 地 ， 本 模 型也 适 用 于 评 价 其 他 对 植 物 有 直 接 影 响 的 灾 害 性 因 素 ， 可 见 本 模 型 有 一 定 的 推 广 性 ， 实 用性 以 及 参 考 性 。在 处 理 雾 霾 天 气 下 的 降 质 图 片 时 ， 我 们 首 先 分 析
6、 了 雾 霾 的 成 因 。 通 过 研 究 雾 霾 造 成的 光 线 散 射 的 物 理 过 程 ， 提 出 了 霾 引 起 光 的 衰 减 模 型 的 RGB 补 偿 处 理 ， 即 在 图 片 中 红绿 蓝 的 颜 色 通 道 上 ， 增 加 计 算 得 到 的 红 绿 蓝 光 在 霾 中 的 光 强 衰 减 值 。 对 于 雾 霾 天 气 下 能见 度 降 低 导 致 图 像 对 比 度 下 降 的 问 题 ， 我 们 用 简 单 而 有 效 的 直 方 图 均 衡 化 方 法 来 处 理 。此 外 ， 在 上 述 方 法 处 理 得 到 的 图 片 上 ， 我 们 用 图 像 引 导
7、 滤 波 方 法 对 细 节 部 分 进 行 加 强 ，以 此 来 处 理 由 雾 霾 造 成 的 成 像 轮 廓 模 糊 的 问 题 ， 使 图 片 更 加 符 合 人 的 视 觉 需 求 。本文的雾霾图片处理算法能够较好地提升原图的清晰度，色彩饱和度以及对比度，其去霾效果比较突出，整体效果良好，是一种易于实践，可借鉴且有效的算法。关 键 词 ： 三 种 群 Volterra 模 型 常 微 分 方 程 组 霾 引 起 光 的 衰 减 模 型直 方 图 均 衡 化 图 像 引 导 滤 波2Nx12 问题重述雾 天 由 于 湿 度 大 ， 能 见 度 差 ， 容 易 造 成 交 通 阻 塞 和
8、 引 发 交 通 事 故 ； 而 霾 天 的 细 粒 子会 造 成 气 溶 胶 污 染 ， 粒 子 被 人 体 吸 收 将 刺 激 支 气 管 ， 加 重 哮 喘 、 鼻 炎 等 呼 吸 系 统 病 症 ，可 见 雾 霾 天 气 对 人 类 活 动 有 很 大 的 危 害 性 。 而 本 文 主 要 讨 论 两 类 问 题 ， 第 一 类 是 由 于 雾 霾造 成 的 植 物 光 合 作 用 减 弱 ， 间 接 影 响 生 物 链 的 变 化 问 题 ； 第 二 类 是 由 于 雾 霾 天 气 能 见 度 降 低 ，湿 度 较 大 造 成 拍 摄 的 图 像 降 质 的 问 题 。 所 以 我
9、 们 将 完 成 以 下 2 项内容：1、建立数学模型描述雾霾天气对于生物链的影响。2、建立并评价对雾霾天气下拍摄的图片进行处理的算法。 模型的假设1、 三种群能够合理地反映生物链的情况。2、 雾霾的影响时间是持续长久的。3、 雾霾在大气中是均匀分布的。 雾霾对生物链的影响3.1 模 型 的 建 立 三 种 群 Volterra 雾 霾 影 响 模 型在 本 问 题 中 ， 我 们 建 立 的 雾 霾 对 生 物 链 的 影 响 模 型 是 基 于 三 种 群 Volterra 模型 12 的。我 们 知 道 在 一 个 生 态 系 统 中 ， 存 在 哺 乳 动 物 吃 植 物 ， 爬 行
10、动 物 吃 哺 乳 动 物 的 自 然 现像 。 当 植 物 、 哺 乳 动 物 、 爬 行 动 物 在 一 个 自 然 环 境 中 生 存 时 , 我们把植物、哺乳动物、爬 行 动 物 的 数 量 分 别 记 作 x1(t), x2(t), x3(t)。对于植物， 若不考虑自然资源对植物的限制, 植物独立生存时以指数规律增长, 相对增长率为 r 1 , 即 x1(t)=r1x1。考虑到自然资源的有限性，植物，哺乳动物，爬行动物的数量应均遵从 logistic 规律。当植物独立存在时，设 N 1，N 2，N 3 分别为植物，哺乳动物，爬行动物在环境资源容许的最大数量。我们有 x1(t)=r1x
11、1(1 1 )。N1而哺乳动物的存在使植物的增长率减小，设减小的程度与哺乳动物的数量和能力成正比，所以我们设单位数量的哺乳动物（相对于 N 2）掠取 12 倍的单位植物量(相对于N1)。我们有x1(t)=r1x1(1 x1 x2 )N1 2在 本 问 题 中 ， 植 物 的 生 长 受 到 了 雾 霾 的 影 响 。 霾 会 使 光 线 粒 子 发 生 散 射 ， 雾 会 使 光线 粒 子 发 生 折 射 ， 致 使 植 物 受 到 的 光 强 减 弱 ， 导 致 其 光 合 作 用 减 弱 ， 其 增 长 率 减 小 （见 图 1） 。3NNN N1211221 23(a)无雾霾时植物接收阳
12、光的情形 (b)有雾霾时植物接收阳光的情形图 1 植物接收阳光的不同情形我们在这里引入一个雾霾影响系数 ，用以表示雾霾对植物增长的抑制作用。我们有进一步化简可得：x1(t)=r1x1(1 x1 x2N1 2)x1x (t)=r1x1(1 x1 x2 )r1 N1 12 2我 们 定 义 k 为 雾 霾 影 响 力 ， 令 k=/r1 ， 表 示 雾 霾 相 对 于 植 物 固 有 增 长 率 的 抑 制 作 用 。于 是 我 们 有x1(t)=r1x1(1 x1 x2N1 2k) (3.1-1)由于植物不可能会有负增长，所以 k0,1 。对 于 哺 乳 动 物 ， 哺 乳 动 物 离 开 植
13、物 无 法 生 存 ， 设 其 独 立 生 存 时 死 亡 率 为 r2 ， 即r2x2 。x2 (t)=而植物的存在又为哺乳动物提供了食物, 植物的存在相当于使哺乳动物的死亡率降低, 且促使哺乳动物增长, 设单位数量的植物(相对于 N 1)供养 21 倍的单位哺乳动物量(相对于 N 2)。我们有x2 (t)= r2x2(1+ x1 )21 N1而哺乳动物又为爬行动物提供了食物, 爬行动物的存在使哺乳动物的增长率减小, 设单位数量的爬行动物（相 对 于 N3）掠 取 23 倍 的 单 位 植 物 量 (相 对 于 N2) 。 我 们 有x2 (t)= r2x2(1+ x1 x31 3而哺乳动物
14、的增长也应符合 logistic 规律，我们有)N4N N23N21321Nx2 (t)= r2x2(1+ x1 x21 N 2 x3 ) (3.1-2)3对 于 爬 行 动 物 ， 爬 行 动 物 离 开 哺 乳 动 物 无 法 生 存 ， 设 其 独 立 生 存 时 死 亡 率 为 r3 ， 即 x3 (t) = -r3x3。而哺乳动物的存在又为爬行动物提供了食物, 哺乳动物的存在相当于使爬行动物的死亡率降低, 且促使爬行动物增长, 设单位数量的哺乳动物(相对于 N 2)供养 32 倍的单位 爬 行 动 物 量 (相 对 于 N3)。 我 们 有 x3 (t)= r3x3(1+x2 )。3
15、2 N2而爬行动物的增长也应符合 logistic 规律，我们有x3 (t) = r3x3(1+ x22 x3 N 3) (3.1-3)方程( 3.1-1)， (3.1-2)， (3.1-3)构 成 了 在 雾 霾 环 境 下 ， 植 物 、 哺 乳 动 物 、 爬 行 动 物 三 者依 存 、 制 约 现 象 的 数 学 模 型 , 即 x (t) r x (1 x1 x2 k) 1 1 1 N 12 N x2(t) r2 x2 (1 21 x1 x2 N1 N2x x 23 x3 )N3(3.1-4) x (t) r x (1 2 3 ) 平 衡 点 及 其 坐 标3 3 3322 3虽然
16、非线性微分方程组(3.1-4)无解析解，但是我们可以解出该微分方程组的平衡点及其坐标，结果如下：P1(0，0，0) P2(0，0，N 3) P3(1k)N3，0，0) P4(0，N 2，0)P5(0， N2 (1 23 ) ， N3 (1 32 ) )1 23 32 1 23 32P6(1-k)N1，0， N3)P7( N1(1 k 12 ) ， N2(1 k) 21 1， 0)1 12 21 1 12 21P8( N11 k 12 12 23 (1 k) 23 32 ， N 21 23 (1 k ) 21 ，1 12 21 23 32 1 12 21 23 322N5x1N31 32 12
17、21 (1 k) 21 32 )1 12 21 23 32当 坐 标 点 为 0 时，说明该物种灭绝，所以当某一平衡点的坐标点为负时，显然不合理 。 于 是 ， 合 理 的 平 衡 点 有 2 个 ， 分 别 是 P1 和 P3。 而 可 能 合 理 的 平 衡 点 也 有 2 个，分别 是 P7 和 P8。 雾 霾 影 响 分 析我们知道在常微分方程中平衡点不一定是稳定点 3， 也 就 是 说 平 衡 点 可 能 会 随 时 间的 改 变 而 有 大 幅 波 动 。 所 以 为 了 说 明 平 衡 点 所 描 述 的 生 态 情 况 是 稳 定 的 ， 我 们 需 要 研 究 平衡 点 的
18、稳 定 性 。 另 一 方 面 为 了 描 述 雾 霾 对 生 态 链 的 动 态 影 响 过 程 ， 在 这 里 我 们 需 要 有 一 个比 较 的 参 照 点 。在 本 模 型 中 ， 我 们 将 构 造 平 衡 点 P8 在 k=0 且正解稳定时的一个具体的数值例子， 以此作为参照点。也就是说，我们研究的生物链的初始状态是在没有雾霾影响时(k=0)， 即 自 然 发 展 情 况 下 ， 三 个 种 群 都 没 有 灭 绝 的 情 形 。 那 么 接 下 来 ， 我 们 通 过 增 加 此 情 形 下 雾霾 的 影 响 力 ， 只 增 大 我 们 构 造 的 P8 的 k 值(00，做行
19、列式a a1 2 3a1 a0 0n1 n1 a1， 2 30 ， a2 a3 a2a5 a4a1 ，a3 n a1 a3a2n1a0 a2a2n20 a0 a2n3 00 = anann1,其中a i =0(对一切in)a 36NNN 那么，方程(3.2-1)的一切根均有负实部的充分必要条件是：对任意i , i 0。由于此稳定性定义只是针对于零解进行稳定性分析，而我们需要分析的点Pi(, , )是非零解，所以我们先将P i(, , )进行坐标变换以转化为对零解的稳定性分析。其坐标变换如下：x1 x1 ， x2 x ， x3 x3 根据我们建立的非线性常微分方程组(3.1-4)，我们得到的系数
20、矩阵为 2 12 r112 r1 (1 1 N 2 k) 2 0A= r2 21 r (1 21 22 23 ) r2 23 1 N1 N 2 N33 0 r3 32 r (1 32 2 ) 2为求特征根方程，我们令det(A -E)=0N 2 N3 我们利用MATLAB符号运算可以得到特征根方程:l 3 l 2 l l 00 1 2 3其中 l0， l1， l2， l3是通过程序得到，其表达式见附录。 稳 定 点 分 析 的 数 据 模 拟根据Hurwitz判别法(定理3.2-2)，我们判断平衡点稳定的条件是：l 0， l 0， l1 l0 0同时成立 (3.2-2)1 3l3 l2由于解析
21、解较难求得，在这里我们选择进行数据模拟的方法来研究平衡点的稳定性。在3.1节 中 我 们 已 经 说 明 了 本 模 型 雾 霾 影 响 的 分 析 方 法 ， 即 在 本 模 型 中 ， 我 们 以 平 衡点 P8点在 k=0且正解稳定时的一个具体的数值例子作为数据模拟的参照点。我们根据 P8点的坐标值都为正值 (生物数量不可能为负 )这一条件得到不等式组： N (1 ) 1 12 12 23 23 32 0 1 12 21 23 32N (1 ) 2 23 21 0 (3.2-3) 1 12 21 23 32 N3(1 32 12 21 21 32 ) 0 1 12 21 23 32进而根
22、据上述不等式组(3.2-3)与判断平衡点稳定的条件(3.2-2)，我们构造出一组数据对参数进行赋值。其中12=0.6, 21=5, 23=0.5, 32=2, N1=1000, N2=100, N3=10 r1=1, r2=0.5, r3=0.6NN37所以参照点 P8的坐标为 (460,90,8)。我们根据定理 3.2-2，通过 MATLAB编程 (程序见附录 )对我们构造的 P8中的 k值(0k1)进 行 改 变 ， 观 察 不 同 k值下的稳定点(k的变化步长为0.1) ， 我 们 得 到 的 结 果 见 表 1。表 1 不 同 k 值下得稳定点表 1中k=0.1时，稳定点为(420,8
23、0,6)表示由于雾霾的影响，生物链中的种群数量减少了。哺乳动物从90减少至80，爬行动物从8减少至6。分析表 1中的数据我们发现：当0k0.4时，我们的稳定点为仍然为平衡点P 8的形式，表示即使有雾霾的影响， 生 物 链 并 没 有 物 种 灭 绝 的 情 况 产 生 ， 只 是 稳 定 点 的 坐 标 发 生 了 改 变 。 从 实 际 情 况 上 来 说也 是 这 样 ， 由 于 雾 霾 对 光 线 粒 子 有 散 射 作 用 ， 植 物 的 光 合 作 用 减 弱 了 ， 自 然 增 长 率 降 低 ， 供养 上 级 营 养 级 的 能 力 减 弱 ， 从 而 使 生 态 稳 定 时 各
24、 个 种 群 生 物 数 量 减 少 。当0.4k0.8时，我们的稳定点为平衡点P 7的形式 ，此时雾霾的影响已经很严重， 导致了最上层营养级物种(在本模型中的爬行动物)灭绝的情况。当 0.8k1 时 ， 我 们 的 稳 定 点 为 平 衡 点 P3 的 形 式 ， 此 时 我 们 可 以 看 出 雾 霾 的 影 响 已经 十 分 恶 劣 ， 导 致 了 两 个 种 群 灭 绝 ， 只 剩 下 了 第 一 营 养 级 (在 本 模 型 中 的 植 物 )的 情 况 。 当 k=1 时，根据微分方程式(3.1-1) ，此时植物的增长率为负，显然不合理，所以我们将这种情况看作是种群全部灭绝的情形。
25、3.3 模 型 结 果 的 进 一 步 讨 论k 值 0 0.1 0.2 0.3 0.4稳定点 (420,90,8) (420,80,6) (380,70,4) (340,60,2) (300,50,0)k 值 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9稳定点 (270,38,0) (250,25,0) (225,13,0) (200,0,0) (100,0,0)k 值稳定点1物种全部灭绝8310210x glo数量 110010 0 2 4 6 8 10 12时间 t植物数量哺乳动物数量爬行动物数量图 2 k 取不同值时三种群生态链中种群数量的变化由 3.2 节模型求解得到的结果，我们可以用图
26、2 形象地描述雾霾对生物链动态影响情况。进一步地，根据表 1 和图 2，我们可以建立评判雾霾影响生物链程度的指标(见表2)。我们分别用无影响，影响较严重，严重，非常严重和极严重来描述生物链受雾霾影响的五种基本形态。表 2 雾霾影响生物链的程度指标k 值 雾霾影响程度0 无0.1 较严重0.2 较严重0.3 较严重0.4 严重0.5 严重0.6 严重0.7 严重0.8 非常严重0.9 非常严重1 极严重从表 2 中 可 以 看 到 ， 我 们 的 模 型 可 以 根 据 不 同 的 k 值 ， 作 出 雾 霾 对 生 物 链 的 影 响 程度 的 衡 量 。 这 样 一 来 ， 如 果 我 们
27、能 具 体 地 掌 握 一 个 生 态 链 中 的 物 种 情 况 的 数 据 ， 以 及 雾 霾量 与 植 物 光 合 作 用 之 间 具 体 影 响 关 系 的 数 据 ， 我 们 就 能 定 量 的 得 到 雾 霾 影 响 力 k 值，进而作出雾霾对生物影响的评价。由此可见我们模型是有一定实用意义和参考价值的。9b此 外 ， 本 模 型 也 可 以 用 来 评 价 其 他 对 植 物 有 直 接 影 响 的 灾 害 因 素 对 生 物 链 的 影 响 程 度 ，可 见 本 模 型 有 一 定 的 推 广 性 。 图片的雾霾处理4.1 散 射 的 处 理 散 射 的 物 理 过 程散 射
28、是 可 见 光 波 段 导 致 图 像 质 量 下 降 的 主 要 原 因 。 为 了 处 理 由 散 射 造 成 的 图 像 降 质问 题 ， 我 们 先 要 了 解 散 射 的 物 理 过 程 。散 射 的 物 理 过 程 即 电 磁 波 传 播 路 径 中 的 一 个 粒 子 (任 何 一 点 物 质 )连 续 地 从 入 射 波中 吸 取 能 量 ， 而 且 把 吸 收 的 能 量 再 放 射 到 以 粒 子 为 中 心 的 全 部 立 体 角 中 。 这 个 粒 子 是 散 射(再 放 射 )能 量 的 一 个 点 源 ， 要 产 生 散 射 ， 这 个 粒 子 的 折 射 率 必
29、须 与 周 围 介 质 有 所 不 同 。所 以 在 雾 霾 天 气 下 ， 由 于 空 气 中 的 悬 浮 粒 子 半 径 和 密 度 较 大 ， 其 折 射 率 与 周 围 介 质不 同 ， 致 使 目 标 物 体 反 射 光 线 与 大 气 粒 子 相 互 作 用 ， 造 成 了 散 射 现 象 4。 图 像 RGB 补 偿从 散 射 的 物 理 过 程 中 我 们 可 以 看 到 ， 散 射 会 造 成 电 磁 波 的 衰 减 。 于 是 我 们 希 望 通 过补 偿 波 的 衰 减 来 还 原 图 像 。由 于 人 的 眼 睛 细 胞 对 红 绿 蓝 三 种 颜 色 的 色 光 最
30、敏 感 ， 红 绿 蓝 三 种 单 色 光 按 一 定 比 例入 眼 时 给 神 经 中 枢 的 信 号 可 能 和 某 种 单 色 光 入 人 眼 时 的 信 号 相 同 。 也 就 是 说 ， 我 们 人 眼判 断 的 紫 光 可 能 是 单 色 紫 光 ， 也 可 能 是 红 绿 蓝 光 组 合 而 成 的 5。所 以 ， 在 这 里 我 们 假 设 可 见 光 均 可 以 由 红 光 ， 绿 光 ， 蓝 光 组 成 。 这 样 一 来 ， 我 们 可以 通 过 补 偿 每 个 像 素 点 的 RGB(红 ， 绿 ， 蓝 三 个 通 道 的 颜 色 )值 ， 即 红 光 ， 绿 光 ，
31、蓝 光 的 衰减 来 补 偿 由 散 射 造 成 的 图 像 降 质 。 霾 引 起 光 的 衰 减 模 型我 们 知 道 霾 是 由 固 体 颗 粒 构 成 的 ， 而 雾 是 由 液 体 构 成 ， 所 以 霾 造 成 的 光 的 散 射 比 雾造 成 的 散 射 要 强 。 于 是 在 本 问 题 中 ， 我 们 主 要 考 虑 由 霾 造 成 的 光 的 散 射 。根据文献 6， 当 激 光 波 长 为 0.53 m 时 ， 用 霾 引 起 激 光 的 衰 减 模 型 得 到 的 衰 减 与 能见 度 之 间 的 关 系 与 Mie 散射理论(Mie 散射理论是一种适用于雾霾天气下的散
32、射理论) 的结 果 契 合 度 比 较 高 。 而 红 光 ， 绿 光 ， 蓝 光 的 波 长 均 与 0.53m 比较接近，所以我们认为可 以 利 用 这 个 衰 减 模 型 来 对 图 像 的 RGB 值进行补偿处理。对 于 霾 引 起 激 光 的 衰 减 预 测 ， 常 根 据 能 反 映 气 溶 胶 浓 度 的 大 气 能 见 度 来 估 计 。 常 用的 用 于 预 测 霾 衰 减 系 数 的 经 验 模 型 公 式 为 ：= 3.912 ( 0.55 )a (km-1) (4.1-1)vb 上式(4.1-1)对于从晴朗到等雾霾天气均可用，式中 v b 为大气能见度(km)； 为波长(m)；a 为波长修正因子，且与能见度有关；在不同能见度情况下， a 的取值为：0.585v 1 / 3 v 6kmb 1.3 1.6平均能见度情况能见度特别良好(4.1-2)平均能见度一般取值 1012 km，能见度特别良好一般取值 23 km 。法国学者 Nabouls 等对低能见度下的 a 值进行了修正，给出的 a 值修正值公式为a=
