1、 本 科 毕 业 论 文 （ 设 计 ）题 目： 一类特殊实对称矩阵的性质与应用 学 生： 蒋海波 学号： 201340510653 学 院： 数学与统计学院 专业： 数学与应用数学 入学时间： 2013 年 9 月 11 日指导教师： 田雪 职称： 讲师 完成日期： 2017 年 3 月 2 日一类特殊实对称矩阵的性质与应用摘 要 ：实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵，很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算.本文讨论了一类特殊的实
2、对称矩阵等差实对称矩阵的定义和性质，给出了等差实对称矩阵在化二次型的标准型，一般的 元函数求最大值最小值，对角化中正交n矩阵的初等变换求法中的应用.关键词：实对称矩阵;等差数列;二次型标准型;初等变换Properties and applications of a class of special real symmetric matricesAbstract: The real symmetric matrix is a widely used matrix, solving a lot of scientific problems all cannot do without the rea
3、l symmetric matrix, and some special of the real symmetric matrix in real symmetric matrix, real symmetric matrices with these propertiesof general matrix with the same, and because of its own specialties, with simple and convenient operation in the calculation of determinant, inverse matrix, rank,
4、etc. and trace. This paper discusses the definition and properties of a special kind of real symmetric matrix arithmetic of real symmetric matrix, real symmetric matrix arithmetic in the standard type two type is given, the general function for the maximum minimum value of orthogonal elementary tran
5、sformation for the application of matrix diagonalization method.Key words: Real symmetric matrix; arithmetic progression; two standard type; elementary transformation目 录引言.11 基本概念 .12 等差实对称矩阵的性质.23 等差实对称矩阵的应用.63.1 等差实对称矩阵在二次型中的应用. .63.2 等差实对称矩阵在一般的 元函数中的极值讨论中的应用. .8n3.3 等差实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法.10参考文献
6、.14致谢 .141引言为了叙述方便，假定本文进行的探讨均在实数域内随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普及运用，数学的独特魅力，在借助于计算机这一强大的工具作用下，在解决科技生产中的重大实际问题的过程中正得以充分的体现.在数学中，确立矩阵概念和产生“矩阵”一词的动机是试图为研究行列式提供一种适当的代数语言.英国数学家西尔维斯特（sylvester,18141897）在进行线性方程组的研究时，首次引入了矩阵的概念 .如今，矩阵已经是数学1上的一个重要概念.由于它描述问题表达简洁，刻画实质深刻等优点，近几十年来已经成为解决科技生产中的重大实际问题所最常用的方法之一.譬如：在概率论和经济学等学科中
7、经常用的非负矩阵，在均衡轮、投入产出分析和增长模型的研究中产生的 矩阵 ；在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞M2系统的稳定性中需要 矩阵及正稳定矩阵等等.由于这些特殊矩阵应用背景的H广泛性，近年来国内外对这方面的研究工作相当活跃.已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为“大规模科学工程计算理论”的一个重要组成部分.正因为特殊矩阵在许多的科学技术领域内部有不同程度的应用，因而对一些特殊矩阵的研究具有较高的学术价值和实际意义.而实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩
8、阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算。下面将介绍一种特殊的实对称矩阵并研究它具有的相关性质.1 基本概念 定义 1：设 是以 为首项，公差为 的等差数列，则实对称矩阵,a2n 1ad11221.naA称为等差实对称矩阵. 2例如，实对称矩阵 ， 均是等差13=2A211233=11nA 实对称矩阵.2 等差实对称矩阵的相关性质定理 1：设实对称矩阵 为等差实对称矩阵，其中11221=naaA 1,a是以 为首项，公差为 的等差数列，则2na 1ad1.nAad证明：根据等差实对称矩阵的定义有 11111122331211
9、122()naadAadaaan 所以有 11111122()ddAaan 由行列式的性质，从第二行开始每一行减去前一行 11111111110=.22() naaaaadddA daan 定理 2:设实对称矩阵 为等差实对称矩阵，其中 122=nAaa 1,a2n是以 为首项，公差为 的等差数列,则1ad3110d,0=,aAn秩证明：由定义 1知当 时 ,此时矩阵 的行向量，列向量均线性相关，极大线0,daO性无关组为零，所以秩 ;0A当 时 ,此时等差实对称矩阵 的极大线性10,da1111naa A无关组为 ，所以秩 ;A当 时 ,此时等差实对称矩阵 的极10,da00(1)ndd A
10、大线性无关组为 ，所以秩 ;nA当 时由定理 1知 ,此时等差实对称矩阵 的行向量，列向10,da0量均线性无关，极大线性无关组为 ，所以秩 ;nAn定理 3：设实对称矩阵 是一个 的等差实对称矩阵，11221naaA n其中 是以 为首项，公差为 的等差数列，且 ，则1,a2n ad10,ad1100-00-1dAdd 证明：4对 进行初等行变换，111223312001naaAEaa 111223312 0100nAEaa 1 1111112()00adadn 从 第 二 行 开 始每 一 行 减 去 前 行00-101aad 从 最 后 一 列 开 始 每 一 列 减 去 前 一 列11
11、 1,00-010adadd 第 一 行 从 第 二 行 开 始 每 行 11 100-00-10100-1-11aad ddd 5所以有1100-00-1adAdd 引理 1 ：矩阵 的全体特征值的和为 称为 的迹，记为 .3A12na ATr（ A）定理 4：设实对称矩阵 为等差实对称矩阵，其中 1221naa 1,a2n是以 为首项，公差为 的等差数列，则1ad1(2)dTrA证明：根据引理 1知 123111()()(2)()()2nnTrAaadndad 引理 2 ：设 时一个数域， ,矩阵 的主对角线上的元素之4F()()ijnAaMFA和，叫做 的迹， 是矩阵 的全部特征值，那么
12、A12,n 12()+nTr推论 1：设实对称 为等差实对称矩阵， 是矩阵 的全部特征值，, A则 11(2)niand6证明：根据引理 2知 ,又由定理 4知 所以有1()niTrA1(2)nadTrA11(2)ninad证毕.例 1 ：设 阶等差实对称矩阵 的全部特征根为 证明5n()ijnA12,n2222221131 1( ()i inaaaa 证明：由 的特征根为 ，故 的全部的特征根为 ，而A12,n 2A22,n212(),nTr111122222123333121212 *ninnnaaaaA aaaa 故 .1221 31()()n ni in 3 等差实对称矩阵的应用3.1 等差实对称矩阵在二次型中的应用引理 3 ：若二次型中只含有变量的平方项，即，22121(,)n nfxdxdx 其中 为实数，则称该二次型为标准型.用非退化线性替换 ，(,)id xCy把二次型 话为标准型的问题是二次型理论的主要问题.化二次型为标准型TXA的方法主要有：配方法，正交替换法，初等变换法 .下面将利用矩阵的和式分7解的方法将以上述等差实对称矩阵为二次型的矩阵的二次型化为标准型.设实二次型 ，二次型的矩阵为等差实对称矩阵，即12(,)TnfxXA
