1、摘 要等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量.关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法; 优越性IABSTRACTEquivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whethe
2、r the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by LHospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be
3、 simply and avoid error in application.Keywords: equivalent infinitesimal; limitation; lhospitals rule; comparison test; superiority.II目 录1 引言 .12 等价无穷小量的概念及其重要性质 .12.1 等价无穷小量的概念 .12.2 等价无穷小量的重要性质 .22.3 等价无穷小量性质的推广 .23 等价无穷小量的应用 .53.1 求函数的极限 .53.2 等价无穷小量在近似计算中的应用 .63.3 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 .63.4 等价无穷小
4、量在判断级数收敛中的应用 .74 等价无穷小量的优势 .84. 1 运用等价无穷小量求函数极限的优势.84. 2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势.95 结 论 .12参 考 文 献 .13致 谢.1401 引言等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进
5、行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2等价无穷小量的概念及其重要性质这部分在同济大学应用数学系主编的高等数学、华东师范大学数学系的数学分析、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、张云霞老师的高等数学教学以及 Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods J. Journal of Computer Research and Development 中做了详细的讲解,下面是我对这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知
6、识以及数学方法我对其进行了证明.2.1 等价无穷小量的概念定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过2.1程中的无穷小量. 如函数 , sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x0 时的无穷小量.对2x于数列只有一种情形, 即n, 如数列 为n时的无穷小量或称为无穷小数1列.注意：1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数 当 x 时的无穷小量,但当x 1时不是无穷小量.13）两个（相同类型）无穷小量之和、差、
7、积仍为无穷小量.4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.无穷小量的比较2111) 若存在正数K和L,使得在某 上有 ,则称 与 为当 时的0()oUx()fxKLgfg0x同阶无穷小量.特别当 则称 与 是同阶无穷小.0()limxfcg()f2) 若 =1, 则称 与 是等价无穷小量, 记为 .()lif()fx()fxg3) 若 = 0, 则称 是 高阶无穷小, 记作 = .li()fxgf()gfo注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x0 时, 与 都是无穷小量, 但它1sinx2们不能进行阶的比较.等价无穷小量的重要性质2设 , 等均为同一自变量变化过程中的无穷小, 若 , 且 l
8、im 存在,则lim =lim （ ） 111limli(.lim.lilim） 若 ,则 .性质表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质表明等价无穷小量的传递性.2.3等价无穷小量性质的推广, , 且 lim =c(-1),则 +.1证明 因为lim =11limli()11lili .cc21limc所以+.而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim =c(-1)”这个条件,千篇一律认为“ ,则有 +在同一变化过程中, , ,且 存在,则2()fx()gx()1()lim(x= .1()limf1()lix证明 因为 1()ln(1)li(expigfxf g= l(1(imln()fx
9、x= ln1expi(= .1()li(x故结论得证.若 , 且 lim 存在,则当 0 且 lim 存在,有3ABCDABCDABCDlim =lim .证明 因为,11 ABB又 ,于是, ,limli1ABlim(1)li(1)0AB从而 3=1,AB即 同理可证 .CD故命题得证.设在自变量的某一变化过程中, 、 、 及 、 、 都是无4()fxg()hx1f1()gx1h穷小量.若 、 、且 存在且 ,则有()fx1f()gx11lim()fx1li()fx .(fg1f若 、 、且 存在且 ,则有()fx1f()gx11()lix1()lifgx .()fg1()f若 、 、 且
10、存在且 ,则有()fx1f()gx1hx1(limfgx1()lifxg.1liffh证明 因为= = .1limfg1ligf1()limgf又因为,1liliffg故上式等于 1.因为4= = .1limfg1ligf1()limgf又因为,1liliffg故上式等于 1.要证 成立,只需证 ,因为1limfgfh1limhfg , ,f1f()x1所以结论得证.性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim =c(-1)”,“ 0”的使用.ABCD注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做
11、替换,和差的替换是不行的.2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.3等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥老师的关于等价无穷小量量代换的一个注记、王斌老师的用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨、华东师范大学数学系的数学分析、盛祥耀老师的高等数学、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Do
12、cuments A. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital LibrariesC. USA Austin Texas: s. n以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的数学分析讲义中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：求函数的极限315在求极限中经常用到的等价无穷小量有 xsinarcsixtntarcx -1, , ,( 0).ln(1)xe1cosx21xal例 1 求 .20tanlimx解 当 0 时, , .1cosx2
13、tanx2原式= 204lix= .8例 2 求 .30tansilimxx解 原式= 30i1colsxx= ( , )230licosxin1cosx2= .12此题也可用洛必达法则做,但不能用性质做.所以, = =0,不满足性质的条件,否则得出错误结论 0.30tansilimxx30l等价无穷小量在近似计算中的应用.如：利 用 等 价 无 穷 小 ， 在 做 近 似 计 算 ， 有 时 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，例 3 654求 的 近 似 值解 因为 时,0x.1nx所以.66512.05846故 6562.05174的 准 确 值 ， 保 留 小 数 点 后 位
14、 可 得 为2.08.517)/.6相 对 误 差 为 （ 这 说 明 计 算 精 度 已 经 很 高利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限3.例 4 求极限 20lim(cos)inxxe解 由于函数的分母中 （ 0）,因此只需将函数分子中的 与分母2x21x中的 cosx 和 分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示 ,即：2xe,2241()8ox,2cosx）.2e1o()x所以.201lim(cos)inxxe442001()()88limlim33o1xx xox12例 5 由拉格朗日中值定理,对任意的 -1,存在 ,使得(1).证明 .ln(1)l()ln(10)xx0li()2x解 因 2ln(1)(),ox,x所以,根据题设所给条件有 2()()1oxo即,2()x
