1、2019 届高三理科数学上学期期中试卷含答案高三(理科) 数学试题时间：120 分钟 总分：150 分 第 I 卷 选择题（共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. i 是虚数单位，复数 13i1 i( )A2i B2i C12i D12i2. 集合 Ax|x20 ；q：函数 f(x)13x32x2mx1 在 R 上是减函数，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)3xm(m 为常
2、数)，则 f(log35)的值为( )A4 B 4 C6 D69. 积分 =（ ）A2 B. -2 C. 4 D. 810. 函数 f(x)sin( x)(xR)0，|2 的部分图象如图所示，如果 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2) ，则 f(x1x2) ( )A.12 B.32 C.22 D 111. 已知 ，若 有两个零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数 ，方程 在区间 上有两个不同的实数解 ，则 =（ ）A B. C. D. 第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13. 已知 ， ，则 =_1
3、4. 已知 ，则 =_15. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 上，E 为边 AB 的中点，M 点在边 BC 上移动，当 最大时，CM 的长度为 _16.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，其中 17 题 10 分，其他各题 12 分)17. 已知向量 (cosx，sinx)， (3 ，3)(1)若 ，若已知 x0 ，求 x 的值；(2)记 f(x) ，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 取值集合18. 已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2a b)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；若 ABa，ACb
4、，作ABC，求 ABC 的面积；(2)求|ab|和|ab|19. 在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，且 （1）求 的值；（2）若 ，求 的值。20. 已知锐角 中，角 所对边分别为 ，向量 ， ，且 （1）求角 B 的大小；（2）如果 ，求 的周长 的范围。21. 已知曲线 ： ，直线 （1）求曲线 的普通方程和当 时直线 的普通方程；（2）已知直线 交曲线 于点 A，B，如果 恰好为线段 的中点，求直线 的方程。22. 已知函数 ，其中 为常数。（1）当 时，求 的极值；（2）讨论 的单调区间；（3）当 时，存在 使得不等式 成立，求 的取值范围。高三(理科) 数学答案1. B 2.
5、D 3. D 4. C 5.A 6.D 7. A 8. B 9. A 10. B 11. D 12. C13. 14. 15. 16. 17. (1)因为 a(cosx，sinx)，b(3，3)，ab，所以3cosx3sinx.若 cosx0，则 sinx0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故cosx0.于是 tanx33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cosx ，sinx)(3，3)3cosx3sinx23cosx6.当 时，f(x)最大值为 ；当 时，f(x)最小值为 。18. 解：(1)由(2a3b)(2ab)61，得 4|a|2 4ab3|b|261.|a|4， |b|
6、3，代入上式求得 ab6.cosab|a|b| 64312.又 0，180，120.BAC 120 ，|AB|a|4，|AC|b| 3，S ABC12|AC| |AB|sinBAC1234sin12033.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6) 3213，|ab| 13.同理，|a b|a2 2abb237.19.（I） 为锐角， （II）由（I）知 ， 由 得，即 又 20.（1） 得 若 ，得 不满足方程，则 则 ，由于 ，则 ，所以 （2）由正弦定理得： ，则，由于 ，得 则 得 则 ，故 所以 周长范围为 21.（1）曲线 ；直线 （2）法 1）设点 ， ，则：， 两式相减得： 由于 ，可得： ，故直线 方程为： 法 2）参见选修 44 课本 第 37 页例 222.（1） ，其中 得： 当 时， ；当 时， 所以 在 递增，在 递减。 的极大值为 ，无极小值。（2）由已知函数的 的定义域为 当 时， ，则 在 单调递增；当 时， 令 ，得： ；令 ，得： 则 在 单调递增，在 单调递减。（3）由（2）可知：当 时， 在 单调递增，在 单调递减当 时， 取得最大值 ，所以 所以 在 单调递减，在 单调递增；的最小值为 函数 求导可得： 当 时，得： ；当 时，得： 所以 在 单调递增，在 单调递减的最大值为 所以要存在 使得不等式 成立即需： 得：
