1、 第 1 页 小学数学典型应用题 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做 一般应用题 。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做 典型应用题 。这本资料主要研究以下 30 类典型应用题： 1、归一问题 2、归总问题 3、和差问题 4、和倍问题 5、差倍问题 6、倍比问题 7、相遇问题 8、追及问题 9、植树问题 10、年龄问题 11、行船问题
2、 12、列车问题 13、时钟问题 14、盈亏问题 15、工程问题 16、正反比例问题 17、按比例分配 18、百分数问题 19、“牛吃草”问题 20、鸡兔同笼问题 21、方阵问题 22、商品利润问题 23、存款利率问题 24、溶液浓度问题 25、构图布数问题 26、幻方问题 27、抽屉原则问题 28、公约公倍问题 29、最值问题 30、列方程问题 1 归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单 一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量份数 1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数 第 2 页 【解题思路和
3、方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例 1 、买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解： （ 1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.6 5 0.12（元） （ 2）买 16 支铅笔需要多少钱？ 0.12 16 1.92（元） 列成综合算式 ： 0.6 5 16 0.12 16 1.92（元） 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算， 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解： （ 1） 1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 90 3 3 10（公顷） （ 2） 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 10 5 6 300（公顷） 列成综合
4、算式： 90 3 3 5 6 10 30 300（公顷） 例 3 、 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105吨钢材，需要运几次？ 解： （ 1） 1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 100 5 4 5（吨） （ 2） 7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 5 7 35（吨） （ 3） 105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105 35 3（次） 列成综合算式 105（ 100 5 4 7） 3（次） 2 归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量
5、、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1 份数量份数总量 总量 1 份数量份数 总量另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？ 解： （ 1）这批布总共有多少米？ 3.2 791 2531.2（米） （ 2）现在可以做多少套？ 2531.2 2.8 904（套） 列成综合算式 3.2 791 2.8 904（套） 例 2 小华每天读 24 页书， 12 天读完了红岩一书。小明每天读 36页书，几天可以
6、读完红岩？ 解： （ 1）红岩这本书总共多少页？ 24 12 288（页） （ 2）小明几天可以读完红岩？ 288 36 8（天） 列成综合算式 24 12 36 8（天） 第 3 页 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克， 30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解： （ 1）这批蔬菜共有多少千克？ 50 30 1500（千克） （ 2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500（ 50 10） 25（天） 列成综合算式 50 30（ 50 10） 1500 60 25（天） 3 和差问题 【含义】已知两个数量的和与差，求这两
7、个数各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2 【解题思路 和方法】 简单的题可以直接套用公式；复杂的题变通后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解： 甲班人数（ 98 6） 2 52（人） 乙班人数（ 98 6） 2 46（人） 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。 解： 长（ 18 2） 2 10（厘米） 宽（ 18 2） 2 8（厘米） 长方形的面积 10 8 80（平方厘米） 例 3 有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙两袋共 重 32 千克，乙、丙两袋共重
8、30 千克，甲、丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。 解： 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（ 32 30） 2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量（ 22 2） 2 12（千克） 丙袋化肥重量（ 22 2） 2 10（千克） 乙袋化肥重量 32 12 20（千克） 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？ 解： “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明 甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（ 14 2 3），甲与乙的和是 97，因此甲车
9、筐数（ 97 14 2 3） 2 64（筐） 第 4 页 乙车筐数 97 64 33（筐） 4 和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和 （几倍 1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解： （ 1）杏树有多少棵？ 248（ 3 1） 62（棵） （ 2）桃树有多少棵？ 62 3 186（棵） 例 2
10、 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4倍，求两库各存粮多少吨？ 解： （ 1）西库存粮数 480（ 1.4 1） 200（吨） （ 2）东库存粮数 480 200 280（吨） 例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？ 解： 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（ 28 24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（ 52 32）就相当于（ 2 1）倍，那么，几天以后甲站的
11、车辆数减少为 （ 52 32）（ 2 1） 28（辆） 所求天数为 （ 52 28）（ 28 24） 6（天） 例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？ 解： 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（ 170 4 6）就相当于（ 1 2 3）倍。那么， 甲数（ 170 4 6）（ 1 2 3） 28 乙数 28 2 4 52 丙数 28 3 6 90 第 5 页 5 差倍
12、问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差（几倍 1）较小的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 : （ 1）杏树有多少棵？ 124（ 3 1） 62（棵） （ 2）桃树有多少棵？ 62 3 186（棵） 例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解 : （ 1）儿子年龄 27
13、（ 4 1） 9（岁） （ 2）爸爸年龄 9 4 36（岁） 例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 : 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（ 30 12）万元就相当于上月盈利的（ 2 1）倍，因此 上月盈利（ 30 12）（ 2 1） 18（万元） 本月盈利 18 30 48（万元） 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？ 解 : 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（ 13
14、8 94）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（ 138 94）就相当于（ 3 1）倍，因此 剩下的小麦数量（ 138 94）（ 3 1） 22（吨） 运出的小麦数量 94 22 72（吨） 运粮的天数 72 9 8（天） 6 倍比问题 第 6 页 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜
15、籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解 : （ 1） 3700 千克是 100 千克的多少倍？ 3700 100 37（倍） （ 2）可以榨油多少千克？ 40 37 1480（千克） 列成综合算式 40（ 3700 100） 1480（千克） 例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？ 解 : （ 1） 48000 名是 300 名的多少倍？ 48000 300 160（倍） （ 2）共植树多少棵？ 400 160 64000（棵） 列成综合算式 400（ 48000 300） 64000（棵） 例 3 凤翔县今年苹果大
16、丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解 : （ 1） 800 亩是 4 亩的几倍？ 800 4 200（倍） （ 2） 800 亩收入多少元？ 11111 200 2222200（元） （ 3） 16000 亩是 800 亩的几倍？ 16000 800 20（倍） （ 4） 16000 亩收入多少元？ 2222200 20 44444000（元） 7 相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程
17、（甲速乙速）相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题可直接利用公式，复杂的题变通后再利用公式。 例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21千米，经过几小时两船相遇？ 解 : 392（ 28 21） 8（小时） 第 7 页 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解 : “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈 ,因此总路程为 400 2 相遇时间（ 400 2）（ 5 3
18、） 100（秒） 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米 处相遇，求两地的距离。 解 : “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（ 3 2）千米，因此， 相遇时间（ 3 2）（ 15 13） 3（小时） 两地距离（ 15 13） 3 84（千米） 8 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发 （或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前
19、面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？ 解 : （ 1）劣马先走 12 天能走多少千米 ？ 75 12 900（千米） （ 2）好马几天追上劣马？ 900（ 120 75） 20（天） 列成综合算式 75 12（ 120 75） 900 45 20（天） 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小
20、明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 : 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（ 500 200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用 40（ 500 200）秒，所以小亮的速度是 :（ 500 200） 40（ 500 200） 300 100 3（米） 第 8 页 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命
21、令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 : 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（ 22 16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是 10（ 22 6）千米，甲乙两地相距 60 千 米。由此推知 : 追及时间 10（ 22 6） 60（ 30 10） 220 20 11（小时） 例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 : 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（ 16 2）千米，
22、客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16 2（ 48 40） 4（小时） 所以两站间的距离为 （ 48 40） 4 352（千米） 列成综合算式 （ 48 40） 16 2（ 48 40） 88 4 352（千米） 例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？ 解 : 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（ 180 2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（ 90 60）米，那么，二人
23、从家出走到相遇所用时间为 180 2（ 90 60） 12（ 分钟） 家离学校的距离为 90 12 180 900（米） 例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 : 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（ 10 5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（ 10 5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟 ，
24、由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用 9（ 10 5）分钟。所以 步行 1 千米所用时间为 1 9（ 10 5） 0.25（小时） 15（分钟） 第 9 页 跑步 1 千米所用时间为 15 9（ 10 5） 11（分钟） 跑步速度为每小时 1 11 60 5.5（千米） 9 植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间 ，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距 1 环形植树 棵数距离棵距 方形植树 棵数距离棵距 4 三角形植树 棵数距离棵距 3 面积植树 棵数面积（棵距行距） 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题
25、的类型，然后可以利用公式 。 例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 : 136 2 1 68 1 69（棵） 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解 : 400 4 100（棵） 例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 解 : 220 4 8 4 110 4 106（个） 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？ 解 : 96（ 0.
26、6 0.4） 96 0.24 400（块） 例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 解 : （ 1）桥的一边有多少个电杆？ 500 50 1 11（个） （ 2）桥的两边有多少个电杆？ 11 2 22（个） （ 3）大桥两边可安装多少盏路灯？ 22 2 44（盏） 10 年龄问题 【含义】 这 类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是
27、一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 第 10 页 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 : 35 5 7（倍） （ 35+1）（ 5+1） 6（倍） 例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁 ，几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？ 解 : （ 1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37 7 30（岁） （ 2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 30（ 4 1） 7 3（年） 列成综合算式 （ 37 7）（ 4 1） 7 3（年） 例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的
28、年龄是儿子年龄的 4倍，父子今年各多少岁？ 解 : 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（ 3 2）岁， 今年二人的年龄和为 49 3 2 55（岁） 把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（ 4 1） 倍，因此，今年儿子年龄为 55（ 4 1） 11（岁） 今年父亲年龄为 11 4 44（岁） 例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 解 : 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 表中两个 “”表示同一个数，两个“” 表示同一个数。 因为 两个人的年龄差总相等： 4 61，也就是 4， 61 成等差数列，所以， 61 应该比 4 大 3 个年龄差， 因此二人年龄差为 （ 61 4） 3 19（岁） 甲今年的岁数为 61 19 42（岁） 乙今年的岁数为 42 19 23（岁） 11 行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速， 船速 是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度 ；过去某一年 今 年 将来某一年 甲 岁 岁 61 岁 乙 4 岁 岁 岁
