1幂级数之和在收敛圆内部为解析函数. 在实数域中，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，而解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数。定理：定理：设f(z) 在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z 点f(z) 可展为幂级数其中 为圆CR内包含z 且与CR同心的圆。1、解析函数以幂级数展开问题2证明：证明： 如图，为避免涉及在圆周CR上级数的收敛或者发散问题，作比CR小，但包含z 且与CR同心的圆周应用柯西公式得下面我们把 展开为幂级数，且展开式以z0为中心，右边第二个式子可得代入（1）可得（1）3代入 然后逐项积分可得根据柯西公式上式就是以z0为中心的泰勒级数泰勒级数下面证明以上得到的泰勒级数是唯一唯一的4如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数则有令z z0，得然后求导一次，令z z0，可得然后求导一次，令z z0，可得依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了解析函数可以展开为 唯一 唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有密切的关系。5例例11 在z00的邻域上把 展开解：函数 的各阶导数 并且有由此可以写出 在z00的
