1、 1 17-18-2 数学建模 作业 题目 1 垃圾运输问题 某城区有 36 个垃圾集中点，每天都要从垃圾处理厂（第 37 号节点）出发将垃圾运回。垃圾点的地理坐标数据表如下图： 序号 站点编号 垃圾量 T 坐标（ km） 序号 站点编号 垃圾量（ Y） 坐标（ km） X Y X Y 1 1 1.50 3 2 20 15 1.40 19 9 2 2 1.50 1 5 21 32 1.20 22 5 3 3 0.55 5 4 22 22 1.80 21 0 4 4 1.20 4 7 23 23 1.40 27 9 5 6 0.85 0 8 24 24 1.60 15 19 6 5 1.30 3
2、 11 25 25 1.60 15 14 7 7 1.20 7 9 26 26 1.00 20 17 8 8 2.30 9 6 27 27 2.00 21 13 9 9 1.40 10 2 28 28 1.00 24 20 10 10 1.50 14 0 29 29 2.10 25 16 11 11 1.10 17 3 30 30 1.20 28 18 12 12 2.70 14 6 31 31 1.90 5 12 13 13 1.80 12 9 32 21 1.30 17 16 14 14 1.80 10 12 33 33 1.60 25 7 15 20 0.60 7 14 34 34 1.
3、20 9 20 16 16 1.50 2 16 35 35 1.50 9 20 17 17 0.80 6 18 36 36 1.30 30 12 18 18 1.50 11 17 37 37 0.00 0 0 19 19 0.80 15 12 现有一种载重 6 吨的运输车。每个垃圾点需要用 10 分钟的时间装车，运输车平均速度为 40km/h(夜里运输，不考虑塞车现象 )；每台车每日平均工作 4 小时。运输车重载运费 1.8 元 /吨公里；运输车和装垃圾用的铲车空载费用 0.4 元 /公里 1 要投入多少辆运输车，每台车的行走路线，方案的运营总费用 2 要投入多少辆铲车，每台铲车的行走路线，铲
4、车的运营费用 如果有载重量为 4 吨， 6 吨， 8 吨三种运输车，应该怎样调度 2 最佳培养基配比方案 某发酵实验中培养基用原料碳源和氮源来生产 IFN-（ -干扰素），其中碳源（ C1， C 2， C3）和氮源2 （ N1， N2， N3， N4）的含量及 IFN-（ -干扰素）的产量的关系可由实验数据表参考。如何选择碳源和氮源的种类及含量使 IFN-的产量达到最大，从而 给出最佳培养基配比方案 ？ 数据表 NO. C1 C2 C3 N1 N2 N3 N4 rhIFN- 1 0.1 0 0 0 0.5 0 0 11.6900 2 0.4 0 0 0 0.5 0 0 39.1297 3 1
5、0 0 0 0.5 0 0 68.2035 4 2 0 0 0 0.5 0 0 83.6580 5 3 0 0 0 0.5 0 0 75.4200 6 0 0.2 0 0 0.5 0 0 20.7360 7 0 0.5 0 0 0.5 0 0 20.7417 8 0 0.8 0 0 0.5 0 0 22.5836 9 0 1.5 0 0 0.5 0 0 25.8213 10 0 0 0.1 0 0.5 0 0 5.6240 11 0 0 0.5 0 0.5 0 0 10.2357 12 0 0 1.5 0 0.5 0 0 14.5909 13 0 0 2.5 0 0.5 0 0 20.3346
6、 14 0 0 0 0 0.5 0 0 7.2960 15 0 0 0 0 0.5 0 0 42.5880 16 0 0 0 0 0.5 0 0 51.6000 17 2 0 0 0 0 0 0 165.5400 18 2 0 0 0.5 0 0 0 72.0000 19 2 0 0 2 0 0 0 54.9000 20 2 0 0 3 0 0 0 42.8400 21 2 0 0 4 0 0 0 164.2500 22 2 0 0 5 0 0 0 138.0400 23 2 0 0 0 0 0 0 126.9000 24 2 0 0 0 0.5 0.5 0 11.4840 25 2 0 0
7、0 2 2 0 17.1600 26 2 0 0 0 3 3 0 20.8000 27 2 0 0 0 4 4 0 57.2400 28 2 0 0 0 5 5 0 72.9600 29 2 0 0 0 0 0 0.01 17.6080 30 2 0 0 0 0 0 0.05 30.9400 31 2 0 0 0 0 0 0.1 11.4750 32 2 0 0 0 0 0 0.3 12.0840 3 房产公司制定月建造计划模型 某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并给合今年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司 2005 年上半年的销售情况如下表所示： 3 月份
8、 1 2 3 4 5 6 销售量（套） 42 32 41 67 25 29 该公司的楼盘 2004 年 12 月的销售均价为 4000 元 /平方米，平均每套 120 平方米，今年上半年的售价保持不变。 2004 年 12 月末尚有 49 套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（ 1） 建造成本 ，包括固定成本（主要是指购地、机器设备 的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约 40%），按照 2004 年 12 月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套 120 平方米计算）的平方成正比，比例系数为 0.5。且可变成
9、本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨 10%，则可变成本是按前面方法计算结果的 1.1 倍。（ 2） 销售费用 ，与当月的销售金额成正比。（ 3） 折旧 ，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分 40 年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为 48 万元 /（ 40*12） =0.1 万 元。 2004 年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2004 年 12 月的价格为基准）见下表： 月份 1 2 3 4 5 6 增长速度 10%
10、10% 20% 20% 30% 30% 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从 2005 年 1 月到6 月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套 120 平方米计算）。 （ 1）如 果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在 6 月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？ （ 2）如果公司每月的建造能力限于 33 套（以平均每套 120 平方米计算），并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在 6 月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？ 4 降落伞的选择问题 为向灾区空投一批救灾物资 ， 共 2000kg， 需选购
11、一些降落伞 ， 已知空投高度为 500m， 要求降落伞落地时的速度不能超过 20米每秒 ， 降落伞的伞面为半径为 r的半球面 ， 用每根长 L共 16根绳索连接的重 m位于球心正下方球面处 ， 如 下图 ： 每个降落伞的价格由三部分组成 。 伞面费用 1C 由伞的半径 r决定 ， 见下表 ； 绳索费用 2C 由绳索总长度及单价 4元 /米决定 ， 固定费用 3C 为 200元 。 r 2 2.5 3 3.5 4 4 C1 65 170 350 660 1000 降落伞在降落过程中除受到重力外 ， 受到空气的阻力 ， 可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比 。为了确定阻力系数 ， 用的半径
12、3rm ， 载重 300m kg 的降落伞从 500m 高度作降落试验 ， 测得各个时刻的高度 x ， 见下表 。 t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 x(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 试确定降落伞的选购方案 ， 即共需多少个伞 ， 每个伞的半径多大 (在给定的半径的伞中选 )， 在满足空投要求的条件下 ， 使费用最低 。 5 航运公司的运输调度问题 驳运公司承运广东珠江三角洲二类港口与香港等地的一类港口之间的业务运单的驳船调度问题。该驳运公司拥有不同规格的驳船 10 条 ，其中 A 类驳船三条（ A1，
13、 A2， A3）其规格为：所能装载最大的集装箱个数为 80，最大的重箱个数为 50，承受最大的重量为 1000T； B 类驳船六条（ B1， B2， B3， B4， B5， B6）其规格为：所能装载最大的集装箱个数为 120， 最大重箱个数为 80，承受最大的重量为 1500T； C 类驳船一条（ C1）：所能装载最大的集装箱个数为 150，最大重箱个数为 100，承受最大的重量为 1800T。 每条船都有自己的运输许可证，且每条船一天至多只能运行一条航线，运输完毕后就近停靠在目的港，且起始港之间可以相互调运。 该驳运公司所有的运输都是集装箱运输，集装箱有两种尺寸： 20 寸， 40 寸。 2
14、 由于没有调度计划表，调度人员主要靠经验安排船舶运输，使得资源存在严重浪费 。随着公司业务规模的扩大，公司负责人想为每天的运输进行排班，使得资源的使用达到最优。请你结合以上各种约束条件合理的为驳船公司制订一个使其盈利最大的驳船调度计划。 各类船的规格制表如下： 所能装载的最大集装箱个数 所能装载的最大重箱个数 所能承受的最大重量（单位：吨） A 80 50 1000 B 120 80 1500 C 150 100 1800 各类船的航线运输许可证制表如下： 湛江 香港 江门 香港 广州 香港 黄埔 香港 汕头 香港 A1 A2 A3 B1 5 B2 B3 B4 B5 B6 C1 单位运输成本表
15、： 船 单位运输成本（元 /公里） A 10 B 15 C 18 各港口之间的距离（单位： km） ： 湛江 江门 广州 黄埔 汕头 香港 湛江 0 50 100 150 200 250 江门 50 0 50 100 150 200 广州 100 50 0 50 100 150 黄埔 150 100 50 0 50 100 汕头 200 150 100 50 0 50 香港 250 200 150 100 50 0 6 货运公司收益问题 某货运公司拥有三辆卡车，每辆载重量约为 10 吨 ，可载体积为 10 立方米。 该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。 托运货物可分为四类： A 鲜
16、活类； B 禽苗类； C 服装类； D 其他类。公司有技术实现四类货物任意混装。平均每类每 kg 所占体积和相应托运单价如表所示 类 别 A 鲜活类 B 禽苗类 C 服装类 D 其他类 体积 3m kg 0.0012 0.0015 0.003 0.0008 托运单价 （元 kg ） 1.7 2.25 4.5 1.12 托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为 2000kg ，批 复量可以为 02000kg 内任意整数，若取0 则表示拒绝客户的申请。 问题 1、 如果某天客户申请量为： A 类 8000kg
17、， B 类 6000kg ， C 类 5000kg ， D 类 4000kg ，如果 装6 车 要求 C 类货物占用的体积不能超过 B,D 两类体积之和的三倍。问公司应如何批复才能使公司获利最大。 问题 2、一般客户的申请是在一周前随 机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量（即申请量减批复量）累计到以后的申请量。现有一个月 历史 的数据（见 第 117 题 附件一），请根据你 们 对下周 7 天中各类货物申请量的预测，估算这 7 天的收益各为多少？ 7 水库排污问题 某江流上有两支流，每条支流上都兴建了规模相当的水库。由于正处于雨水多发季节因此两个水库都以一定的流量进
18、行泄洪。某天晚上 10： 00，在其中的一个水库发生了两船相撞的事故，而其中的一条船装载的 P 吨化学物质（这里的化学物质可以是具有挥发性的，也可能是急难挥发的）全部泄露至水库中。 当水上航运处置中心接获事故报告，立即要求该水库关闭水库泻洪闸，以免化学物质随洪水流如干流，发生更大规模的污染。水库闸门开始关闭时，已经处在事故发生后的一个小时，而水库闸门彻底关闭也需要一小时的时间。根据当地环境监测有关规定，干流大面积污染的危险警戒值设为：三小时内 q吨化学物质发生泄露。 （ 1）试建立合理的数学模型，讨论由于此次事故发生，干流发生大面积污染的可能性； （ 2）如果在另外的一个水库中有一化工厂违规排
19、放废料。废料中同样含有该化学物质。该工厂为躲避环境监测站的监控，均在晚上 9： 00 12： 00 违规进行 周期性排放，在这种情形下，讨论由于此次事故的发生，干流发生大面积污染的可能性； （ 3）如果以上两个水库间有一条人工修建的水渠相连接，水渠的水流流向不定，但保证两水库之间的水流能相互影响。那么上述结果是否会改变？请给出说明，若有改变，则给出修正的模型结果； （ 4）如果发生大面积污染，那么针对第三种情况，试给出在短时间内控制污染的模型。 8 倒煤台的操作方案 一装煤系统，由倒煤台与列车两部分组成，先将煤装入倒煤台，再从倒煤台将煤装入列车，每列标准火车有 3辆机车，大容量火车由 5 辆机
20、车组成。容量为标准火车的两 倍，倒煤台容量为标准火车的 1.5 倍。倒煤台需一个装煤工作班 6 小时装满，费用为每小时 9000 美元 .可以调用第二个工作班为倒煤台装煤，但费用为每小时 12000 美元 .每列标准火车需 3 小时装满，每天铁道部门向这个装煤设施发送三列标准火车，在上午 5 点到下午 8 点的任何时间内到达。每周星期四上午 11 点到下午 1 点之间有一列大容量列车到达。如果火车到达后因等待装煤而停留，铁道部门要征收每列标准火车每小时 15000 美元的滞期费，每列大容量列车每小时 25000 美元 .出于安全考虑，当往倒煤台装煤时，不能往火车上装煤，每当因向倒煤台 装煤而中
21、断装火车时 ,就要征收滞期费。 要求对本系统求出： 1) 应该每月调用第二个工作班多少时间？ 2) 预期的年滞期费是多少？ 3) 如果标准列车能按调度在确切的时间到达 ,什么样的日调度安排能使装煤费用最少？ 4) 如果调用第三个每小时费用为 12000 美元的工作班 ,能否降低年操作费用？ 5) 每天能否装 4 列标准列车？ 7 9 投资的收益和风险 市场上有 n 种资产 , 1,2,.,iS i n (如股票、债券 等 )供投资者选择，某公司有数额 为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 iS的平均收益率为 ir ，
22、并预测出购买 iS 的风险损失率为 iq 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 iS 中最大的一个风险来度量。购买 iS 要付交易费，费率为 ip ，并且当购买额不超过给定值 iu 时，交易费按购买 iu 计算 (不买当然无须付费 )。另外，假定同期银行存款利率是 000 5r , 且既无交易费又无风险。 1. 已知 4n 时的相关数据如下： iS 00()ir 00()iq 00()ip ()iu元 S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 试给
23、该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 iS 00()ir 00()iq 00()ip ()iu元 S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 475 S10
24、 36.8 40 2.9 248 S11 11.8 31 5.1 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 35 46 2.7 267 S14 9.4 5.3 4.5 328 S15 15 23 7.6 131 8 10 灾情巡视路线 下图为某县的乡 (镇 )、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡 (镇 )、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡 (镇 )、村，又回到县政府所在地的路线。 1. 若分三组 (路 )巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2. 假定巡视人员在
25、各乡 (镇 )停留时间 2T 小时，在各村停留时间 1t 小时，汽车行驶 速度35V km h 。要在 24 小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 3. 在上述关于 ,tTV 的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4. 若巡视组数已定 (如三组 )，要求尽快完成巡视，讨论 ,tTV 改变对最佳巡视路线的影响。 11 洁具流水时间设计 我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了
26、节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指 用水量）比其它发达国家的同类产品要高出 60%以上。 9 某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数 v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。 方案一： 使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为 T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10 秒。 方案二： 使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为
27、T，然后自动停止放水。若使用时间不超过 T-5 秒， 则只放水一次，否则，为保持清洁，到 2T 时刻再开始第二次放水，持续时间也为 T。但若使用时间超过 2T-5 秒，则到 4T 时刻再开始第三次放水，持续时间也是 T 在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过 2 次。 该厂家随机调查了 100 人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间 (单位：秒 )见下表： 时间（秒） 12 13 14 15 16 1718 人次 1 5 12 60 13 63 （ 1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数 T（秒）的最
28、优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的； （ 2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。 12 开放式基金的投资问题 某开放式基金现有总额为 15 亿元的资金可用于投资，目前共有 8 个项目可供投资者选择。每个项目可以重复投资，根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，且有个上限。这 些项目所需要的投资额已经知道，在一般情况下，投资一年后各项目所得利润也可估计出来，见表一： 表一 投资项目所需资金及预计一年后所得利润 （ 单位：万元 ） 请帮助该公司解决以下问题： 1、 就表一提供的数据，试问应该选取哪些项目
29、进行投资，使得 第一年所得利润最大 ? 2、 在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。公司在咨询了有关专家后，得到如下可靠信息： 1) 如果同时对第 1 个和第 3 个项目投资，它们的预计利润分别为 1005 万元和 1018. 5 万元； 2) 如果同时对第 4、 5 个项目投资，它们的预计利润分别为 1045 万元和 1276 万元； 10 3) 如果同时对第 2、 6、 7、 8 个项目投资，它们的预计利润分别为 1353 万元、 840 万元、 1610 万元、 1350万元； 4) 如果考虑投资风险，则应该如何投资使得收益尽可能大，而风险尽可能的 小。投资项目总风
30、险可用所投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出的投资项目 Ai 的风险损失率为 qi，数据见表二。 表二 投资项目的风险损失率 由于专家的经验具有较高的可信度，公司决策层需要知道以下问题的结果： （ 1） 如果将专家的前 3 条 信息考虑进来，该基金该如何进行投资呢？ （ 2） 如果将专家的 4 条信息都考虑进来，该基金又应该如何决策？ 开放式基金一般要保留适量的现金，降低客户无法兑付现金的风险。在这种情况下，将专家的 4条信息都考虑进来，那么基金该如何决策，使得尽可能的降低风险，而一年后所得利润尽可能多？ 13、中原城市群建设问题 河南省委七届五次全会通过了河南省全面建设小康社会规划纲要
31、，提出了建设中原城市群经济隆起带、实现中原崛起的战略构想。这一战略构想顺应了经济发展的潮流，符合市场经济条件下财富生成和财富积聚的一般规 律，抓住了河南经济发展问题的关键，其意义无论如何估计也不过分。下面给出了一些数据，请您根据这些数据分析建设中原城市群的可行性、基本途径，并给出建设的基本方案。 城市总数 总面积(km2) 总人口(万人 ) 总 GDP (亿元 ) 人均GDP(元 ) 第一产业 % 第二产业 % 第三产业 % 城市化率 中原城市群 9 58700 3872.5 3326 8590 14 50.3 35.7 25.39 长三角城市群 15 9900000 7500 19141.6
32、2 25522.16 5.8 51.90 42.3 45 珠三角城市群 9 41698 2746.46 9419 34295 4.9 49.8 45.3 大武汉城市群 9 6134700 3017.85 2940.23 9742.8 14.2 49.2 36.6 40.59 长株潭城市群 3 28106.5 1246.07 1430.5 10910.67 12.73 44.63 43.03 41.33 表二 中原城市群各城市及河南省的相关数据比较 总 GDP (亿元 ) 人均GDP(元 ) 面积(km2) 人口 (万人 ) 总人口 (万人 ) 城市化率 产业占总 GDP 比重 % 农业 非农 第一 第二 第三 郑州 9282890 14527 7446 402 242 644 37.54 5.09 48.88 46.03 开封 2698982 5757 6444 377 93 470 19.87 30.39 35.94 33.67
